미적분1 · 미분

02 미분가능성과 연속성

개념

연속 $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

미분가능 $f'(a)$가 존재 (좌우의 미분계수가 같다)

관계 미분가능하면 연속, 역은 성립하지 않는다 (예: $|x|$)

구간별 함수 경계에서 ① 함숫값 ② 미분계수가 같아야 미분가능

자주 나오는 유형

유형 1미분가능성과 연속성
유형 2구간별로 정의된 함수의 미분가능성
유형 3두 함수의 곱의 미분가능성

유형 1 미분가능성과 연속성

문제 · 기본

보기의 함수 중 $x=0$에서 연속이지만 미분가능하지 않은 것만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. $f(x)=|x|$

ㄴ. $g(x)=x|x|$

ㄷ. $h(x)=\begin{cases}x+1 & (x\ge0)\\ x & (x<0)\end{cases}$

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ㄱ. 연속, 좌미분계수 $-1$ ≠ 우미분계수 $1$ → 미분가능하지 않음

ㄴ. $\dfrac{g(h)-g(0)}{h}=|h|\to0$ → 미분가능

ㄷ. $\lim_{x\to0-}h(x)=0\ne h(0)=1$ → 연속이 아님

$\therefore$ ㄱ

사고 흐름

① 먼저 좌극한·우극한·함숫값으로 연속을 확인한다

② 연속이면 좌우 미분계수를 비교한다

③ 불연속이면 미분가능하지 않다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

두 함수 $f(x)=|x|$, $g(x)=x$에 대하여 보기에서 $x=0$에서 미분가능한 함수만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. $f(x)+g(x)$

ㄴ. $f(x)g(x)$

ㄷ. $\{f(x)\}^2$

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ㄱ. $|x|+x$: 좌미분계수 $0$, 우미분계수 $2$ → 미분가능하지 않음

ㄴ. $x|x|$: 좌우 미분계수 모두 $0$ → 미분가능

ㄷ. $|x|^2=x^2$ → 미분가능

$\therefore$ ㄴ, ㄷ

사고 흐름

① 새 함수를 $x\ge0$, $x<0$으로 나눠 식을 쓴다

② 좌우의 미분계수를 각각 구한다

③ 미분가능하지 않은 함수끼리의 합·곱도 미분가능할 수 있다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 구간별로 정의된 함수의 미분가능성빈출

문제 · 기본

함수 $f(x)=\begin{cases}x^2+ax & (x<1)\\ 2x+b & (x\ge1)\end{cases}$이 $x=1$에서 미분가능할 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오.

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① 연속: $1+a=2+b$

② 미분계수: $2+a=2$ → $a=0$

$b=-1$

$\therefore$ $a+b=$ $-1$

사고 흐름

① 미분가능하면 먼저 연속이다

② 경계에서 두 식의 도함숫값이 같아야 한다

③ 두 식을 연립한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=\begin{cases}x^3+ax & (x<1)\\ bx^2+2 & (x\ge1)\end{cases}$이 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, $f(2)+f(-1)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수)

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연속: $1+a=b+2$

미분계수: $3+a=2b$

연립하면 $b=4$, $a=5$

$f(2)=18$, $f(-1)=-6$ $\therefore$ $12$

사고 흐름

① 각 구간의 식은 다항식이라 경계만 확인하면 된다

② 경계 $x=1$에서 함숫값과 미분계수를 같게 놓는다

③ 구한 식에서 각 구간에 맞는 식으로 함숫값을 계산한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 두 함수의 곱의 미분가능성빈출

문제 · 기본

두 함수 $f(x)=|x-2|$, $g(x)=x+a$에 대하여 함수 $f(x)g(x)$가 $x=2$에서 미분가능할 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

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$h(x)=f(x)g(x)$, $h(2)=0$

우미분계수 $\lim_{x\to2+}\dfrac{(x-2)(x+a)}{x-2}=2+a$, 좌미분계수 $-(2+a)$

$2+a=-(2+a)$, 즉 $g(2)=0$

$\therefore$ $a=$ $-2$

사고 흐름

① 꺾이는 점에서 좌우 미분계수를 각각 구한다

② 두 값이 같아지는 조건을 세운다

③ 결국 $g(2)=0$이면 꺾임이 사라진다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=\begin{cases}x+1 & (x<1)\\ -x+3 & (x\ge1)\end{cases}$과 이차함수 $g(x)=x^2+ax+b$에 대하여 $f(x)g(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 $g(2)=3$일 때, $g(3)$의 값을 구하시오.

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$x=1$에서 좌미분계수 $g(1)+2g'(1)$, 우미분계수 $-g(1)+2g'(1)$

같아야 하므로 $g(1)=0$: $1+a+b=0$

$g(2)=4+2a+b=3$ → $a=0$, $b=-1$

$g(x)=x^2-1$ $\therefore$ $g(3)=$ $8$

사고 흐름

① 곱의 미분법으로 경계의 좌우 미분계수를 쓴다

② $f$가 꺾이는 점에서 $g$의 값이 $0$이어야 한다

③ 나머지 조건으로 $g$를 완성한다

DOYEONMATH · 김도연T