미적분1 · 미분
05 평균값 정리와 함수의 증가·감소
개념
롤의 정리 $f(a)=f(b)$이면 $f'(c)=0$인 $c$가 $(a, b)$에 존재
평균값 정리 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$인 $c$가 $(a, b)$에 존재
증가·감소 $f'(x)>0$이면 증가, $f'(x)<0$이면 감소
삼차함수 증가 실수 전체에서 증가 ⇔ $f'(x)\ge0$ ⇔ $D\le0$
자주 나오는 유형
유형 1 롤의 정리
문제 · 기본
함수 $f(x)=x^2-4x+1$에 대하여 닫힌구간 $[0, 4]$에서 롤의 정리를 만족시키는 $c$의 값을 구하시오.
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$f(0)=f(4)=1$
$f'(c)=2c-4=0$
$c=2$는 $(0, 4)$에 속한다 $\therefore$ $c=$ $2$
사고 흐름
① 양 끝의 함숫값이 같은지 확인한다
② $f'(c)=0$을 푼다
③ $c$가 열린구간 안에 있는지 확인한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=x^3-3x$에 대하여 닫힌구간 $[-\sqrt3, \sqrt3]$에서 롤의 정리를 만족시키는 $c$의 개수를 구하시오.
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$f(-\sqrt3)=f(\sqrt3)=0$
$f'(c)=3c^2-3=0$에서 $c=\pm1$
둘 다 $(-\sqrt3, \sqrt3)$에 속한다
$\therefore$ $2$개
사고 흐름
① 롤의 정리의 조건을 확인한다
② $f'(c)=0$의 근을 모두 구한다
③ 열린구간 안의 근만 센다 (적어도 하나이지 하나뿐은 아니다)
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 평균값 정리빈출
문제 · 기본
함수 $f(x)=x^2+2x$에 대하여 닫힌구간 $[1, 3]$에서 평균값 정리를 만족시키는 $c$의 값을 구하시오.
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$\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{15-3}{2}=6$
$f'(c)=2c+2=6$
$\therefore$ $c=$ $2$
사고 흐름
① 양 끝을 잇는 직선의 기울기(평균변화율)를 구한다
② $f'(c)$와 같다고 놓는다
③ $c$가 구간 안에 있는지 확인한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
미분가능한 함수 $f(x)$가 $f(1)=2$이고 모든 실수 $x$에 대하여 $1\le f'(x)\le4$일 때, $f(4)$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M+m$의 값을 구하시오.
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평균값 정리: $\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=f'(c)$
$1\le\dfrac{f(4)-2}{3}\le4$
$5\le f(4)\le14$ ($f(x)=x+1$, $f(x)=4x-2$에서 등호)
$\therefore$ $M+m=$ $19$
사고 흐름
① 두 점 사이에서 평균값 정리를 쓴다
② $f'(c)$의 범위로 평균변화율의 범위를 얻는다
③ 등호가 되는 함수가 있는지 확인한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 3 함수의 증가와 감소
문제 · 기본
함수 $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$이 감소하는 구간이 $[a, b]$일 때, $b-a$의 값을 구하시오.
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$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$
$f'(x)\le0$인 구간은 $[1, 3]$
$a=1$, $b=3$
$\therefore$ $b-a=$ $2$
사고 흐름
① 도함수를 인수분해한다
② $f'(x)$의 부호를 조사한다
③ $f'\le0$인 구간이 감소 구간이다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=-x^3+ax^2+bx$가 $x\le-1$ 또는 $x\ge3$에서 감소하고, $-1\le x\le3$에서 증가할 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오.
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$f'(x)=-3x^2+2ax+b$
$f'(x)=-3(x+1)(x-3)=-3x^2+6x+9$
$2a=6$, $b=9$ → $a=3$
$\therefore$ $a+b=$ $12$
사고 흐름
① 증가·감소가 바뀌는 점은 $f'(x)=0$의 근이다
② 근과 최고차항으로 $f'(x)$를 쓴다
③ 계수를 비교한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 4 그래프와 증가·감소
문제 · 기본
함수 $f(x)$의 도함수 $y=f'(x)$의 그래프가 그림과 같다. $f(x)$가 감소하는 구간에 속하는 정수의 개수를 구하시오.
$x$
$y$
$O$
$y=f'(x)$
$-1$
$2$
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$f'(x)\le0$인 구간에서 감소
그래프가 $x$축 아래에 있거나 만나는 구간: $-1\le x\le2$
정수 $-1$, $0$, $1$, $2$
$\therefore$ $4$개
사고 흐름
① $f'$의 그래프에서 $x$축 아래 부분을 찾는다
② 그 구간에서 $f$가 감소한다
③ 구간 안의 정수를 센다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)$의 도함수가 $f'(x)=x^2(x-3)$일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. $f(x)$는 $x=0$에서 극값을 갖는다.
ㄴ. $f(x)$는 열린구간 $(0, 3)$에서 감소한다.
ㄷ. $f(0)>f(3)$
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$x<3$에서 $f'(x)\le0$ ($x=0$에서만 $0$), $x>3$에서 $f'(x)>0$
ㄱ. $x=0$ 좌우에서 부호가 바뀌지 않으므로 극값 아님 (거짓)
ㄴ. 참, ㄷ. $x\le3$에서 감소하므로 $f(0)>f(3)$ (참)
$\therefore$ ㄴ, ㄷ
사고 흐름
① $f'(x)$의 부호를 구간별로 조사한다
② $f'(a)=0$이어도 부호가 안 바뀌면 극값이 아니다
③ 감소 구간 안의 두 점은 앞쪽 값이 더 크다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 5 실수 전체에서 증가(감소)할 조건빈출
문제 · 기본
함수 $f(x)=x^3+ax^2+3x$가 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 정수 $a$의 개수를 구하시오.
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$f'(x)=3x^2+2ax+3\ge0$이 항상 성립
$\dfrac{D}{4}=a^2-9\le0$
$-3\le a\le3$
$\therefore$ 정수 $7$개
사고 흐름
① 증가 ⇔ 모든 $x$에서 $f'(x)\ge0$
② 이차식이 항상 $0$ 이상이면 판별식 $\le0$
③ 범위 안의 정수를 센다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=-x^3+3x^2+ax$가 역함수를 갖도록 하는 실수 $a$의 최댓값을 구하시오.
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최고차항이 음수이므로 실수 전체에서 감소해야 한다
$f'(x)=-3x^2+6x+a\le0$이 항상 성립
$\dfrac{D}{4}=9+3a\le0$에서 $a\le-3$
$\therefore$ 최댓값 $-3$
사고 흐름
① 역함수를 가지려면 일대일대응, 즉 증가 또는 감소
② 최고차항의 부호로 증가·감소 중 하나를 정한다
③ $f'(x)$의 판별식 조건을 쓴다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 6 주어진 구간에서 증가(감소)할 조건
문제 · 기본
함수 $f(x)=x^3-3x^2+ax$가 열린구간 $(1, 3)$에서 감소하도록 하는 실수 $a$의 최댓값을 구하시오.
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$f'(x)=3x^2-6x+a\le0$이 $(1, 3)$에서 성립
$f'$는 아래로 볼록하므로 양 끝에서 $f'(1)\le0$, $f'(3)\le0$
$a-3\le0$, $a+9\le0$ → $a\le-9$
$\therefore$ 최댓값 $-9$
사고 흐름
① 구간에서 $f'(x)\le0$이어야 한다
② $f'$가 아래로 볼록하면 양 끝값만 확인하면 된다
③ 두 조건의 공통 범위를 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=-x^3+ax^2-3x$가 닫힌구간 $[1, 2]$에서 증가하도록 하는 실수 $a$의 최솟값을 구하시오.
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$f'(x)=-3x^2+2ax-3\ge0$이 $[1, 2]$에서 성립
$f'$는 위로 볼록이므로 양 끝에서 $f'(1)\ge0$, $f'(2)\ge0$
$2a-6\ge0$, $4a-15\ge0$ → $a\ge\dfrac{15}{4}$
$\therefore$ 최솟값 $\dfrac{15}{4}$
사고 흐름
① 구간에서 $f'(x)\ge0$이어야 한다
② 위로 볼록한 포물선은 양 끝이 가장 낮다
③ 양 끝 조건의 공통 범위를 구한다
DOYEONMATH · 김도연T