미적분1 · 미분
07 극값을 가질 조건과 그래프의 개형
개념
개형 $f'=0$ → 증감표 → 극값·절편 → 그래프
삼차함수 극값을 가진다 ⇔ $f'(x)=0$의 판별식 $D>0$
사차함수 극댓값을 가진다 ⇔ $f'(x)=0$이 서로 다른 세 실근
$x$축에 접함 극값이 $0$ ⇔ $f(x)$가 중근을 가진다
자주 나오는 유형
유형 1 함수의 그래프의 개형
문제 · 기본
함수 $y=x^3-3x^2+4$의 그래프와 $x$축의 교점의 개수를 구하시오.
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$y'=3x(x-2)$: 극댓값 $f(0)=4$, 극솟값 $f(2)=0$
극솟값이 $0$이므로 $x=2$에서 $x$축에 접한다
$x<0$ 쪽에서 한 번 더 만난다
$\therefore$ $2$개
사고 흐름
① 증감표로 극값을 구한다
② 극값의 부호로 $x$축과의 위치를 본다
③ 양 끝의 증감과 함께 교점을 센다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $y=3x^4-4x^3-12x^2+5$의 그래프와 $x$축의 교점의 개수를 구하시오.
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$y'=12x(x+1)(x-2)$
극솟값 $f(-1)=0$, 극댓값 $f(0)=5$, 극솟값 $f(2)=-27$
$x=-1$에서 접하고, $(0, 2)$와 $(2, \infty)$에서 한 번씩 만난다
$\therefore$ $3$개
사고 흐름
① 사차함수는 극값 세 개를 모두 구한다
② 극값의 부호를 차례로 본다
③ $0$인 극값은 접점 하나로 센다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 삼차함수의 계수의 부호
문제 · 기본
삼차함수 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ($a>0$)가 $x=-1$에서 극대, $x=3$에서 극소이고 $f(0)>0$일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. $b>0$
ㄴ. $c<0$
ㄷ. $d>0$
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$f'(x)=3a(x+1)(x-3)=3ax^2-6ax-9a$
$b=-3a<0$, $c=-9a<0$, $d=f(0)>0$
$\therefore$ ㄴ, ㄷ
사고 흐름
① 극값을 갖는 $x$로 $f'(x)$를 인수분해한 꼴로 쓴다
② 계수를 비교해 $a$로 나타낸다
③ $y$절편은 $d$이다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
삼차함수 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$가 극대·극소가 되는 $x$의 값이 모두 양수이고 $f(0)<0$일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. $a<0$
ㄴ. $b<0$
ㄷ. $abc>0$
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$f'(x)=3x^2+2ax+b=0$의 두 근 $\alpha$, $\beta$가 양수
$\alpha+\beta=-\dfrac{2a}{3}>0$, $\alpha\beta=\frac b3>0$
$a<0$, $b>0$, $c=f(0)<0$이므로 $abc>0$
$\therefore$ ㄱ, ㄷ
사고 흐름
① 극값을 갖는 $x$는 $f'(x)=0$의 두 근
② 근과 계수의 관계로 부호를 정한다
③ $c$는 $y$절편의 부호로 정한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 3 삼차함수의 극값 조건빈출
문제 · 기본
함수 $f(x)=x^3+ax^2+3x+1$이 극값을 갖도록 하는 자연수 $a$의 최솟값을 구하시오.
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$f'(x)=3x^2+2ax+3=0$이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다
$\frac D4=a^2-9>0$
$a<-3$ 또는 $a>3$
$\therefore$ 자연수 $a$의 최솟값 $4$
사고 흐름
① 삼차함수가 극값을 가지면 $f'$의 부호가 바뀐다
② 이차방정식 $f'=0$이 서로 다른 두 실근
③ 판별식 $>0$ (등호 제외)
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=x^3+(a-1)x^2+(a+5)x$가 극값을 갖지 않도록 하는 정수 $a$의 개수를 구하시오.
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$f'(x)=3x^2+2(a-1)x+(a+5)$
$\frac D4=(a-1)^2-3(a+5)\le0$
$a^2-5a-14=(a-7)(a+2)\le0$, $-2\le a\le7$
$\therefore$ 정수 $10$개
사고 흐름
① 극값이 없다 ⇔ $f'$의 부호가 바뀌지 않는다
② 판별식 $\le0$ (중근일 때도 극값 없음)
③ 범위 안의 정수를 센다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 4 주어진 구간에서 극값을 가질 조건빈출
문제 · 기본
함수 $f(x)=x^3+3ax^2+3x$가 $x>0$에서 극댓값과 극솟값을 모두 갖도록 하는 실수 $a$의 범위가 $a<k$일 때, $k$의 값을 구하시오.
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$f'(x)=3x^2+6ax+3=0$이 서로 다른 두 양의 실근
$\frac D4=9a^2-9>0$, 두 근의 합 $-2a>0$, 곱 $1>0$
$a<-1$
$\therefore$ $k=$ $-1$
사고 흐름
① 두 극점이 모두 구간 안에 있어야 한다
② 두 근이 양수일 조건: 판별식, 합, 곱
③ 세 조건의 공통 범위를 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=x^3-3x^2+ax$가 열린구간 $(-1, 1)$에서 극댓값을 갖도록 하는 정수 $a$의 개수를 구하시오.
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$f'(x)=3x^2-6x+a$, 두 근 $\alpha<\beta$에서 $\alpha+\beta=2$, 극대는 $x=\alpha$
$\alpha<1$이면 $\beta>1$이므로 $\alpha$만 $(-1, 1)$에 들어오면 된다
$f'(-1)=9+a>0$, $f'(1)=a-3<0$
$-9<a<3$ $\therefore$ 정수 $11$개
사고 흐름
① 극대가 되는 점은 $f'$의 작은 근
② 그 근 하나만 구간 안에 있을 조건을 세운다
③ $f'$의 양 끝 함숫값 부호로 판단한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 5 사차함수의 극값 조건
문제 · 기본
함수 $f(x)=x^4-4x^3+ax^2$이 극댓값을 갖도록 하는 자연수 $a$의 개수를 구하시오.
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$f'(x)=2x(2x^2-6x+a)$
$f'(x)=0$이 서로 다른 세 실근: $2x^2-6x+a=0$이 $0$이 아닌 서로 다른 두 실근
$36-8a>0$, $a\ne0$ → $a<\frac92$
$\therefore$ 자연수 $1$, $2$, $3$, $4$의 $4$개
사고 흐름
① 사차함수가 극댓값을 가지려면 $f'$이 부호를 세 번 바꾼다
② $x=0$을 뺀 이차식이 다른 두 실근을 갖는다
③ 근 $0$과 겹치지 않는지 확인한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=3x^4-4x^3-6ax^2$이 극댓값을 갖지 않도록 하는 정수 $a$의 최댓값을 구하시오.
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$f'(x)=12x(x^2-x-a)$
$x^2-x-a=0$이 실근이 없거나 중근: $1+4a\le0$ → $a\le-\frac14$
또는 한 근이 $0$: $a=0$이면 $f'(x)=12x^2(x-1)$ → 극소만
$\therefore$ 정수 $a$의 최댓값 $0$
사고 흐름
① 극댓값이 없다 ⇔ $f'$의 부호가 한 번만 바뀐다
② 남은 이차식이 실근이 없거나 중근인 경우
③ 근이 $0$과 겹쳐 중근이 되는 경우도 빠뜨리지 않는다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 6 그래프 조건으로 다항함수 구하기빈출
문제 · 기본
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $y=f(x)$의 그래프가 원점을 지나고 $x=1$에서 $x$축에 접할 때, $f(x)$의 극댓값을 구하시오.
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$f(x)=x(x-1)^2$
$f'(x)=(x-1)^2+2x(x-1)=(x-1)(3x-1)$
$x=\frac13$에서 극대
$f\left(\frac13\right)=\frac13\times\frac49=$ $\dfrac{4}{27}$
사고 흐름
① $x$축에 접하는 점은 중근으로 쓴다
② 지나는 점을 인수로 넣어 식을 완성한다
③ 도함수로 극대인 점을 찾는다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 $f(0)=0$, $f'(0)=0$이고 극솟값이 $-4$일 때, $f(4)$의 값을 구하시오.
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$f(x)=x^3+ax^2$ ($x=0$에서 중근)
$f'(x)=x(3x+2a)$, 극소는 $x=-\dfrac{2a}{3}$ ($a<0$)
$f\left(-\dfrac{2a}3\right)=\dfrac{4a^3}{27}=-4$에서 $a=-3$
$f(x)=x^3-3x^2$ $\therefore$ $f(4)=$ $16$
사고 흐름
① $f(0)=f'(0)=0$이면 $x^2$을 인수로 가진다
② 극소인 점을 문자로 나타낸다
③ 극솟값 조건으로 계수를 구한다
DOYEONMATH · 김도연T