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09 방정식에의 활용

개념
실근의 개수 $f(x)=k$ ⇔ $y=f(x)$와 $y=k$의 교점의 개수
삼차방정식 세 실근 ⇔ (극댓값)$\times$(극솟값)$<0$
접선의 개수 접점 $t$에 대한 방정식의 실근의 개수
자주 나오는 유형

유형 1 방정식 $f(x)=k$의 실근의 개수

문제 · 기본
방정식 $x^3-3x^2-9x-k=0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.
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$f(x)=x^3-3x^2-9x$와 $y=k$의 교점이 세 개
극댓값 $f(-1)=5$, 극솟값 $f(3)=-27$
$-27<k<5$
$\therefore$ 정수 $31$개
사고 흐름
① $k$를 분리해 $f(x)=k$ 꼴로 만든다
② $y=f(x)$의 극값을 구해 그래프를 그린다
③ 직선 $y=k$가 세 번 만나는 범위를 읽는다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
방정식 $3x^4-4x^3-12x^2=k$가 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.
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$f(x)=3x^4-4x^3-12x^2$, $f'(x)=12x(x+1)(x-2)$
극솟값 $f(-1)=-5$, $f(2)=-32$, 극댓값 $f(0)=0$
네 점에서 만나려면 $-5<k<0$
$\therefore$ 정수 $4$개
사고 흐름
① 사차함수의 극값 세 개를 구한다
② 두 극솟값 중 큰 값과 극댓값 사이에서 네 번 만난다
③ 범위 안의 정수를 센다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 방정식의 실근의 부호

문제 · 기본
방정식 $x^3-3x=k$가 서로 다른 두 양의 실근과 한 음의 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 범위가 $a<k<b$일 때, $b-a$의 값을 구하시오.
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$f(x)=x^3-3x$: 극댓값 $f(-1)=2$, 극솟값 $f(1)=-2$, $f(0)=0$
$x>0$에서 두 번 만나려면 $-2<k<0$
이때 $x<0$에서 한 번 만난다
$a=-2$, $b=0$ $\therefore$ $2$
사고 흐름
① $y=f(x)$의 그래프에 $y$축(부호의 경계)을 함께 본다
② $x>0$ 쪽 교점이 두 개인 $k$를 찾는다
③ $f(0)$이 경계값이 된다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
방정식 $2x^3+3x^2-12x=k$가 서로 다른 두 음의 실근과 한 양의 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.
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$f(x)=2x^3+3x^2-12x$, $f'(x)=6(x+2)(x-1)$
극댓값 $f(-2)=20$, 극솟값 $f(1)=-7$, $f(0)=0$
$x<0$에서 두 번 만나려면 $0<k<20$
$\therefore$ 정수 $19$개
사고 흐름
① 극값과 $f(0)$을 함께 구한다
② 음수 쪽에서 두 번 만나는 $k$의 범위를 찾는다
③ 경계값($0$, $20$)은 포함하지 않는다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 극값을 이용한 삼차방정식의 근의 판별

문제 · 기본
삼차방정식 $x^3-6x^2+9x+k=0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.
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$f(x)=x^3-6x^2+9x+k$, $f'(x)=3(x-1)(x-3)$
(극댓값)$\times$(극솟값)$=f(1)f(3)=(4+k)k<0$
$-4<k<0$
$\therefore$ 정수 $3$개
사고 흐름
① 상수 $k$까지 포함한 $f(x)$의 극값을 구한다
② 세 실근 ⇔ 극값의 부호가 다르다
③ 곱이 음수인 범위를 푼다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
삼차방정식 $x^3-6x^2+9x+k=0$이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하시오.
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서로 다른 두 실근 ⇔ 중근 하나와 다른 근 하나
극댓값 또는 극솟값이 $0$: $(4+k)k=0$
$k=0$ 또는 $k=-4$
$\therefore$ 합 $-4$
사고 흐름
① 서로 다른 두 실근은 그래프가 $x$축에 접할 때
② 접점은 극점이므로 극값이 $0$
③ 가능한 $k$를 모두 더한다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 4 두 곡선의 교점의 개수

문제 · 기본
두 곡선 $y=x^3$, $y=3x^2-k$가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.
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$x^3=3x^2-k$ ⇔ $x^3-3x^2=-k$
$g(x)=x^3-3x^2$: 극댓값 $0$, 극솟값 $-4$
$-4<-k<0$, 즉 $0<k<4$
$\therefore$ 정수 $3$개
사고 흐름
① 두 식을 같게 놓고 상수를 한쪽으로 모은다
② 남은 함수의 그래프와 수평선의 교점으로 바꾼다
③ 극값 사이의 범위를 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
두 곡선 $y=2x^3$, $y=3x^2+12x+k$가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 모든 실수 $k$의 값의 합을 구하시오.
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$2x^3-3x^2-12x=k$, $g'(x)=6(x+1)(x-2)$
극댓값 $g(-1)=7$, 극솟값 $g(2)=-20$
두 점에서 만나는 것은 $y=k$가 극점을 지날 때: $k=7$, $-20$
$\therefore$ 합 $-13$
사고 흐름
① 교점 문제를 $g(x)=k$의 실근 문제로 바꾼다
② 교점이 두 개 ⇔ 수평선이 극값에 접한다
③ 극댓값과 극솟값을 더한다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 5 절댓값 기호를 포함한 방정식의 실근

문제 · 기본
방정식 $|x^2-4x|=k$가 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.
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$y=|x^2-4x|$: $x$축 아래 부분을 접으면 $x=2$에서 극댓값 $4$
네 점에서 만나려면 $0<k<4$
정수 $1$, $2$, $3$
$\therefore$ $3$개
사고 흐름
① 절댓값 함수는 $x$축 아래를 위로 접어 그린다
② 접힌 꼭짓점이 새로운 극대가 된다
③ 수평선이 네 번 만나는 범위를 찾는다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
방정식 $|x^3-3x|=k$가 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 값을 구하시오.
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$y=|x^3-3x|$는 $x=\pm1$에서 극댓값 $2$, $x=0$, $\pm\sqrt3$에서 $0$
$0<k<2$이면 $6$개, $k>2$이면 $2$개
$k=2$이면 $x=\pm1$에서 접하고 $x=\pm2$에서 만난다
$\therefore$ $k=$ $2$
사고 흐름
① $|f(x)|=k$ ⇔ $f(x)=k$ 또는 $f(x)=-k$
② $k$의 범위별로 교점 수를 센다
③ 극값과 같은 $k$에서 접점이 생긴다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 6 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수

문제 · 기본
점 $(0, k)$에서 곡선 $y=x^3+3x^2$에 서로 다른 세 접선을 그을 수 있는 실수 $k$의 범위가 $a<k<b$일 때, $a+b$의 값을 구하시오.
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접점 $t$의 접선 $y=(3t^2+6t)(x-t)+t^3+3t^2$에 $(0, k)$ 대입
$k=-2t^3-3t^2$이 서로 다른 세 실근 $t$
$g(t)=-2t^3-3t^2$: 극솟값 $g(-1)=-1$, 극댓값 $g(0)=0$
$-1<k<0$ $\therefore$ $a+b=$ $-1$
사고 흐름
① 접점이 다르면 접선도 다르다
② 접선의 개수 = $t$에 대한 방정식의 실근 개수
③ $g(t)=k$의 실근이 세 개인 범위를 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
점 $(2, k)$에서 곡선 $y=x^3$에 서로 다른 세 접선을 그을 수 있는 정수 $k$의 개수를 구하시오.
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접선 $y=3t^2(x-t)+t^3$에 $(2, k)$ 대입: $k=6t^2-2t^3$
$g(t)=6t^2-2t^3$, $g'(t)=6t(2-t)$
극솟값 $g(0)=0$, 극댓값 $g(2)=8$이므로 $0<k<8$
$\therefore$ 정수 $7$개
사고 흐름
① 접점을 $t$로 놓고 지나는 점을 대입한다
② $k=g(t)$로 정리한다
③ $g(t)=k$가 세 실근을 갖는 정수 $k$를 센다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 7 실근 조건으로 함수 구하기빈출

문제 · 기본
함수 $f(x)=x^3-3x+a$에 대하여 방정식 $f(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 가질 때, $f(2)$의 값을 구하시오. (단, $a>0$)
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극댓값 $f(-1)=a+2$, 극솟값 $f(1)=a-2$
서로 다른 두 실근 ⇔ 극값 중 하나가 $0$
$a>0$이므로 $a-2=0$, $a=2$
$\therefore$ $f(2)=8-6+2=$ $4$
사고 흐름
① 실근 조건을 극값 조건으로 바꾼다
② 부호 조건으로 하나를 고른다
③ 완성된 함수에 대입한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=x^3-3x^2+k$에 대하여 방정식 $f(x)=0$은 서로 다른 두 실근, 방정식 $f(x)=4$는 한 실근만을 가질 때, $f(-1)$의 값을 구하시오.
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극댓값 $f(0)=k$, 극솟값 $f(2)=k-4$
$f(x)=0$이 두 실근: $k=0$ 또는 $k=4$
$k=4$이면 $f(x)=4$가 $x=0$(중근), $3$의 두 실근 → 제외
$k=0$ $\therefore$ $f(-1)=-1-3=$ $-4$
사고 흐름
① 첫 조건으로 $k$의 후보를 구한다
② 두 번째 조건으로 후보를 하나씩 확인한다
③ 남은 $k$로 함숫값을 계산한다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 8 $(f\circ g)(x)=0$ 꼴의 실근

문제 · 기본
함수 $f(x)=x^2-2x$에 대하여 방정식 $f(f(x))=0$의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.
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$f(t)=0$에서 $t=0$ 또는 $t=2$, 즉 $f(x)=0$ 또는 $f(x)=2$
$f(x)=0$: $x=0$, $2$
$f(x)=2$: $x^2-2x-2=0$, $x=1\pm\sqrt3$
$\therefore$ $4$개
사고 흐름
① 안쪽 $f(x)$를 $t$로 놓고 바깥 방정식을 푼다
② $f(x)=t$의 값마다 실근을 구한다
③ 겹치는 근이 없는지 확인하고 센다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=x^3-3x$에 대하여 방정식 $f(f(x))=0$의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.
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$f(t)=0$에서 $t=0$, $\pm\sqrt3$
$f$의 극댓값 $2$, 극솟값 $-2$
$0$, $\pm\sqrt3$은 모두 $-2$와 $2$ 사이이므로 $f(x)=t$는 각각 $3$개
$\therefore$ $3\times3=$ $9$개
사고 흐름
① 바깥 방정식의 근 $t$를 구한다
② $y=f(x)$와 $y=t$의 교점 수를 $t$마다 센다
③ $t$가 다르면 근도 겹치지 않는다
DOYEONMATH · 김도연T