미적분1 · 적분
06 정적분으로 정의된 함수
개념
기본 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$이면 $g'(x)=f(x)$, $g(a)=0$
극값 $f(x)=0$이고 부호가 바뀌는 곳, 값은 정적분으로 계산
극한 ⑴ $\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_a^{a+h}f(t)\,dt=f(a)$
극한 ⑵ $\lim_{x\to a}\frac{1}{x-a}\int_a^x f(t)\,dt=f(a)$
자주 나오는 유형
유형 1 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소
문제 · 기본
함수 $f(x)=\int_{0}^{x}(t^2-4t+3)\,dt$의 극댓값과 극솟값의 합을 구하시오.
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$f'(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$
$x=1$에서 극대, $x=3$에서 극소, $f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x$
극댓값 $f(1)=\frac{4}{3}$, 극솟값 $f(3)=0$
$\therefore$ 합 $\frac{4}{3}$
사고 흐름
① 적분과 미분의 관계로 $f'(x)$를 바로 쓴다
② $f'(x)$의 부호 변화로 극대·극소를 정한다
③ 극값은 정적분(또는 $f(x)$의 식)으로 계산한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=\int_{1}^{x}(t-a)(t-3)\,dt$가 $x=3$에서 극솟값 $-\frac{4}{3}$을 가질 때, $a$의 값과 $f(x)$의 극댓값의 합을 구하시오. (단, $a<3$)
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$f'(x)=(x-a)(x-3)$, $a<3$이므로 $x=a$에서 극대, $x=3$에서 극소
$f(3)=\int_{1}^{3}\{t^2-(a+3)t+3a\}dt=2a-\frac{10}{3}=-\frac{4}{3}$, $a=1$
극댓값 $f(1)=\int_{1}^{1}(t-1)(t-3)\,dt=0$
$\therefore$ $1+0=$ $1$
사고 흐름
① $f'(x)$의 근과 대소로 극대·극소 위치를 정한다
② 극솟값 조건을 정적분으로 계산해 $a$를 구한다
③ 위끝과 아래끝이 같으면 정적분은 $0$이다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소
문제 · 기본
닫힌구간 $[0, 4]$에서 함수 $f(x)=\int_{0}^{x}(t^2-2t)\,dt$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M+m$의 값을 구하시오.
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$f'(x)=x(x-2)$, $f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2$
극솟값과 양 끝값을 비교: $f(0)=0$, $f(2)=-\frac{4}{3}$, $f(4)=\frac{16}{3}$
$M=\frac{16}{3}$, $m=-\frac{4}{3}$
$\therefore$ $M+m=$ $4$
사고 흐름
① $f'(x)=0$인 $x$를 구간 안에서 찾는다
② 극값과 양 끝값을 모두 계산한다
③ 가장 큰 값과 가장 작은 값을 고른다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=\int_{x}^{x+2}(t^2-4t)\,dt$의 최솟값을 구하시오.
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$g(t)=t^2-4t$라 하면 $f'(x)=g(x+2)-g(x)$
$f'(x)=(x+2)^2-4(x+2)-x^2+4x=4x-4$
$x=1$에서 극소이자 최소
$f(1)=\int_{1}^{3}(t^2-4t)\,dt=\frac{26}{3}-16=$ $-\frac{22}{3}$
사고 흐름
① 위끝과 아래끝이 모두 $x$의 식이면 $F(x+2)-F(x)$로 본다
② 미분하면 $g(x+2)-g(x)$가 된다
③ $f'(x)=0$인 곳에서 정적분으로 최솟값을 계산한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 3 정적분으로 정의된 함수의 그래프
문제 · 기본
닫힌구간 $[0, 4]$에서 정의된 함수 $y=f(t)$의 그래프가 그림과 같다. $g(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt$의 최댓값을 구하시오.
$t$
$y$
$O$
$1$
$2$
$3$
$4$
$2$
$-2$
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$g'(x)=f(x)$: $0<x<2$에서 $f>0$, $2<x<4$에서 $f<0$
$x=2$에서 최대, $g(2)$는 $t=0$부터 $2$까지 그래프 아래 넓이
$g(2)=2\times1+\frac{1}{2}\times1\times2=3$
$\therefore$ 최댓값 $3$
사고 흐름
① $g'(x)=f(x)$이므로 $f$의 부호로 $g$의 증감을 읽는다
② $f$가 $+$에서 $-$로 바뀌는 곳에서 $g$가 최대
③ $g$의 값은 그래프와 $t$축 사이 넓이(부호 포함)로 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(t)=3t^2-12$에 대하여 $g(x)=\int_{0}^{x}f(t)\,dt$라 할 때, 방정식 $g(x)=k$가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.
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$g'(x)=3(x+2)(x-2)$, $g(x)=x^3-12x$
극댓값 $g(-2)=16$, 극솟값 $g(2)=-16$
$y=g(x)$와 $y=k$가 세 점에서 만나려면 $-16<k<16$
$\therefore$ 정수 $k$는 $31$개
사고 흐름
① $g'(x)=f(x)$로 $g$의 증감과 극값을 구한다
② $y=g(x)$의 그래프를 그리고 직선 $y=k$를 움직인다
③ 세 점에서 만나는 $k$는 극솟값과 극댓값 사이
DOYEONMATH · 김도연T
유형 4 정적분으로 정의된 함수의 극한 ⑴빈출
문제 · 기본
$\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{2}^{2+h}(t^3-t+1)\,dt$의 값을 구하시오.
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$f(t)=t^3-t+1$의 한 부정적분을 $F(t)$라 하면
$\lim_{h\to 0}\frac{F(2+h)-F(2)}{h}=F'(2)=f(2)$
$f(2)=8-2+1=$ $7$
사고 흐름
① 정적분을 $F(2+h)-F(2)$로 바꾼다
② 미분계수의 정의로 $F'(2)$를 만든다
③ $F'=f$이므로 $f(2)$를 계산한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
$\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{1-h}^{1+2h}(t^2+3t)\,dt$의 값을 구하시오.
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$F'(t)=t^2+3t$인 $F$에 대하여 (식) $=\frac{F(1+2h)-F(1-h)}{h}$
$=2\times\frac{F(1+2h)-F(1)}{2h}+\frac{F(1-h)-F(1)}{-h}$
$\to 2F'(1)+F'(1)=3f(1)$
$\therefore$ $3\times4=$ $12$
사고 흐름
① 정적분을 $F$의 함숫값 차로 바꾼다
② $F(1)$을 빼고 더해 미분계수 꼴 두 개로 나눈다
③ 앞에 붙는 계수 $2$, $1$을 더한다
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유형 5 정적분으로 정의된 함수의 극한 ⑵빈출
문제 · 기본
$\lim_{x\to 1}\frac{1}{x-1}\int_{1}^{x}(t^3+2t)\,dt$의 값을 구하시오.
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$F'(t)=t^3+2t$인 $F$에 대하여
$\lim_{x\to 1}\frac{F(x)-F(1)}{x-1}=F'(1)$
$=1+2=$ $3$
사고 흐름
① 정적분을 $F(x)-F(1)$로 바꾼다
② 분모 $x-1$과 함께 미분계수 $F'(1)$이 된다
③ 피적분함수에 $t=1$을 대입한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=x^2+ax$에 대하여 $\lim_{x\to 2}\frac{1}{x^2-4}\int_{2}^{x}f(t)\,dt=3$일 때, $f(1)$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수)
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$\frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{x+2}\times\frac{1}{x-2}$
(극한) $=\frac{1}{4}\times f(2)$
$\frac{f(2)}{4}=3$에서 $4+2a=12$, $a=4$
$\therefore$ $f(1)=1+4=$ $5$
사고 흐름
① 분모를 인수분해해 $x-a$ 부분을 떼어 낸다
② $\frac{1}{x-2}\int_2^x f(t)\,dt\to f(2)$를 쓴다
③ 남은 인수의 극한값을 곱한다
DOYEONMATH · 김도연T