미적분1 · 적분

08 넓이의 활용

개념

넓이가 같다 $x$축 위·아래 넓이가 같으면 $\int_a^b f(x)\,dx=0$

이등분 일부분의 넓이 $=\frac{1}{2}\times$ (전체 넓이)

최솟값 넓이를 미지수의 함수로 놓고 최솟값을 구한다

역함수 $y=f(x)$와 $y=f^{-1}(x)$는 $y=x$에 대하여 대칭

자주 나오는 유형

유형 1넓이가 주어질 때 미지수 구하기
유형 2두 도형의 넓이가 같을 조건
유형 3넓이의 이등분, 넓이의 비
유형 4넓이의 최솟값
유형 5함수와 그 역함수의 정적분
유형 6역함수의 그래프로 둘러싸인 넓이

유형 1 넓이가 주어질 때 미지수 구하기

문제 · 기본

곡선 $y=x^2-a$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 $36$일 때, 양수 $a$의 값을 구하시오.

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교점 $x=\pm\sqrt{a}$, $y$축 대칭

$S=2\int_{0}^{\sqrt a}(a-x^2)\,dx=\frac{4}{3}a\sqrt a$

$\frac{4}{3}a\sqrt a=36$에서 $a\sqrt a=27$

$\therefore$ $a=$ $9$

사고 흐름

① 교점을 미지수로 나타낸다

② 넓이를 미지수의 식으로 계산한다

③ 주어진 넓이와 같게 놓고 푼다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

곡선 $y=x^2-2x$와 직선 $y=mx$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $36$일 때, 상수 $m$의 값을 구하시오. (단, $m>-2$)

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교점: $x^2-(2+m)x=0$에서 $x=0$, $2+m$

$S=\int_{0}^{2+m}\{(2+m)x-x^2\}dx=\frac{(2+m)^3}{6}$

$(2+m)^3=216$에서 $2+m=6$

$\therefore$ $m=$ $4$

사고 흐름

① 두 그래프의 교점을 $m$으로 나타낸다

② 넓이를 $m$의 식으로 정리한다

③ 세제곱 꼴이면 세제곱근으로 푼다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 두 도형의 넓이가 같을 조건

문제 · 기본

곡선 $y=x^2-3x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $A$, 곡선 $y=x^2-3x$와 $x$축 및 직선 $x=a$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $B$라 하자. $A=B$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오. (단, $a>3$)

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$A$는 $x$축 아래, $B$는 $x$축 위

$A=B$이면 $\int_{0}^{a}(x^2-3x)\,dx=0$

$\frac{a^3}{3}-\frac{3a^2}{2}=0$, $a^2\left(\frac{a}{3}-\frac{3}{2}\right)=0$

$\therefore$ $a=$ $\frac{9}{2}$

$x$

$y$

$O$

$3$

$a$

사고 흐름

① 두 부분이 $x$축 위·아래에 있는지 본다

② 넓이가 같으면 부호 있는 정적분의 합이 $0$이다

③ 전체 구간 $[0, a]$의 정적분 $=0$으로 푼다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

곡선 $y=x(x-1)(x-a)$와 $x$축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 서로 같을 때, 상수 $a$의 값을 구하시오. (단, $a>1$)

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$[0, 1]$에서 $y\ge0$, $[1, a]$에서 $y\le0$

넓이가 같으므로 $\int_{0}^{a}x(x-1)(x-a)\,dx=0$

$\frac{a^4}{4}-\frac{(1+a)a^3}{3}+\frac{a^3}{2}=0$ → $\frac{a}{4}-\frac{1+a}{3}+\frac{1}{2}=0$

$3a-4-4a+6=0$ $\therefore$ $a=$ $2$

사고 흐름

① 세 교점 사이 두 부분의 위치(위·아래)를 본다

② 넓이가 같다 ⇔ 양 끝 교점 사이 정적분 $=0$

③ $a^3$으로 나눠 일차방정식으로 만든다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 넓이의 이등분, 넓이의 비빈출

문제 · 기본

곡선 $y=x^2$과 직선 $y=2x$로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 $x=a$가 이등분할 때, 상수 $a$의 값을 구하시오. (단, $0<a<2$)

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전체 넓이 $\int_{0}^{2}(2x-x^2)\,dx=\frac{4}{3}$

$\int_{0}^{a}(2x-x^2)\,dx=\frac{2}{3}$: $a^2-\frac{a^3}{3}=\frac{2}{3}$

$a^3-3a^2+2=(a-1)(a^2-2a-2)=0$

$0<a<2$이므로 $a=$ $1$

사고 흐름

① 전체 넓이를 먼저 구한다

② 나뉜 한쪽 넓이를 $a$의 식으로 쓰고 절반과 같게 놓는다

③ 범위에 맞는 근만 고른다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

곡선 $y=-x^2+3x$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 $y=mx$가 이등분할 때, $(3-m)^3$의 값을 구하시오. (단, $0<m<3$)

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전체 넓이 $\int_{0}^{3}(-x^2+3x)\,dx=\frac{9}{2}$

곡선과 직선의 교점 $x=0$, $3-m$

$\int_{0}^{3-m}\{(3-m)x-x^2\}dx=\frac{(3-m)^3}{6}=\frac{9}{4}$

$\therefore$ $(3-m)^3=$ $\frac{27}{2}$

$x$

$y$

$O$

$3$

사고 흐름

① 곡선과 $x$축 사이 전체 넓이를 구한다

② 직선 위쪽(곡선과 직선 사이) 넓이를 $m$으로 나타낸다

③ 전체의 절반과 같게 놓는다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 4 넓이의 최솟값

문제 · 기본

곡선 $y=x^2+1$ 위의 점 $(t, t^2+1)$에서의 접선과 이 곡선 및 $y$축, 직선 $x=2$로 둘러싸인 도형의 넓이의 최솟값을 구하시오. (단, $0<t<2$)

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접선 $y=2tx-t^2+1$, (곡선) $-$ (접선) $=(x-t)^2$

$S(t)=\int_{0}^{2}(x-t)^2\,dx=2t^2-4t+\frac{8}{3}$

$=2(t-1)^2+\frac{2}{3}$

$t=1$일 때 최솟값 $\frac{2}{3}$

사고 흐름

① 접선의 방정식을 $t$로 쓴다

② 넓이를 $t$의 함수 $S(t)$로 계산한다

③ 이차함수의 최솟값을 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

점 $(1, 2)$를 지나는 직선과 곡선 $y=x^2$으로 둘러싸인 도형의 넓이의 최솟값을 구하시오.

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직선 $y=m(x-1)+2$, 교점 $\alpha$, $\beta$는 $x^2-mx+m-2=0$의 두 근

$S=\int_{\alpha}^{\beta}-(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}$

$(\beta-\alpha)^2=m^2-4m+8=(m-2)^2+4$

$m=2$일 때 $\beta-\alpha=2$, 최솟값 $\frac{8}{6}=$ $\frac{4}{3}$

사고 흐름

① 기울기 $m$으로 직선을 쓰고 교점은 근과 계수의 관계로 다룬다

② 넓이를 $\beta-\alpha$로 나타낸다

③ $(\beta-\alpha)^2$의 최솟값을 구한다

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유형 5 함수와 그 역함수의 정적분

문제 · 기본

함수 $f(x)=x^3+1$ ($x\ge0$)의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $\int_{0}^{1}f(x)\,dx+\int_{1}^{2}g(x)\,dx$의 값을 구하시오.

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$f(0)=1$, $f(1)=2$

$\int_{1}^{2}g(x)\,dx$는 $y=f(x)$의 왼쪽 넓이 ($y$축 쪽)

두 넓이의 합 $=$ 가로 $1$, 세로 $2$인 직사각형

$\therefore$ $2$

$x$

$y$

$O$

$1$

$2$

사고 흐름

① 역함수의 정적분은 원래 그래프에서 $y$축 쪽 넓이다

② 두 넓이를 한 그림에 그린다

③ 합쳐진 직사각형의 넓이로 계산한다

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문제 · 심화

함수 $f(x)=x^3+x$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $\int_{2}^{10}g(x)\,dx$의 값을 구하시오.

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$f(1)=2$, $f(2)=10$

$\int_{1}^{2}f(x)\,dx+\int_{2}^{10}g(x)\,dx=2\times10-1\times2$

$\int_{1}^{2}(x^3+x)\,dx=\frac{15}{4}+\frac{3}{2}=\frac{21}{4}$

$\therefore$ $18-\frac{21}{4}=$ $\frac{51}{4}$

사고 흐름

① 적분 구간 $2$, $10$에 대응하는 $x$값 $1$, $2$를 찾는다

② $bf(b)-af(a)$ 꼴의 큰 직사각형에서 작은 직사각형을 뺀다

③ $f$의 정적분을 빼서 $g$의 정적분을 얻는다

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유형 6 역함수의 그래프로 둘러싸인 넓이

문제 · 기본

함수 $f(x)=x^3$ ($x\ge0$)의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

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교점은 $y=x$ 위: $x^3=x$에서 $x=0$, $1$

$S=2\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx$ ($y=x$에 대하여 대칭)

$=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=$ $\frac{1}{2}$

사고 흐름

① 두 곡선의 교점은 $y=x$ 위에 있다

② $y=f(x)$와 $y=x$ 사이 넓이를 구한다

③ 대칭이므로 두 배 한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=x^3-3x^2+3x$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

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$f'(x)=3(x-1)^2\ge0$이므로 증가, 역함수 존재

$f(x)=x$에서 $x(x-1)(x-2)=0$, $x=0$, $1$, $2$

$S=2\int_{0}^{2}|f(x)-x|\,dx=2\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)$

$\therefore$ $S=$ $1$

$x$

$y$

$O$

$y=x$

$1$

$2$

사고 흐름

① 역함수가 있는지(증가함수인지) 먼저 확인한다

② $f(x)=x$의 근으로 교점을 구한다

③ $y=f(x)$와 $y=x$ 사이 넓이의 두 배를 구한다

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