미적분1 · 함수의 극한과 연속
02 함수의 극한값의 계산
개념
성질 극한값이 실수일 때 합·차·곱·몫(분모 $\ne0$)으로 나눈다
$\frac00$ 꼴 인수분해해 약분, 무리식은 유리화
$\frac\infty\infty$ 꼴 분모의 최고차항으로 분자·분모를 나눈다
$\infty-\infty$, $\infty\times0$ 유리화·통분으로 위의 꼴로 바꾼다
자주 나오는 유형
유형 1 함수의 극한에 대한 성질빈출
문제 · 기본
$\lim_{x\to1}f(x)=3$, $\lim_{x\to1}g(x)=-2$일 때, $\lim_{x\to1}\dfrac{2f(x)-g(x)}{f(x)g(x)+1}$의 값을 구하시오.
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두 극한값이 실수이므로 성질로 나눠 계산
(분자) $\to 6+2=8$, (분모) $\to -6+1=-5$
$\therefore$ $-\frac85$
사고 흐름
① 각 극한값이 실수로 존재하는지 확인한다
② 분모의 극한이 $0$이 아닌지 확인한다
③ 극한값을 대입하듯 계산한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
$\lim_{x\to1}\{f(x)+g(x)\}=5$, $\lim_{x\to1}\{f(x)-g(x)\}=1$일 때, $\lim_{x\to1}f(x)g(x)$의 값을 구하시오.
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$f(x)=\dfrac{\{f+g\}+\{f-g\}}{2}$, $g(x)=\dfrac{\{f+g\}-\{f-g\}}{2}$
$\lim f(x)=3$, $\lim g(x)=2$ (극한값이 존재하는 두 식의 합·차)
$\therefore$ $3\times2=$ $6$
사고 흐름
① $f$, $g$를 극한값이 존재하는 식으로 나타낸다
② 그래야 성질을 쓸 수 있다
③ 각각의 극한값을 곱한다
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유형 2 $\frac00$ 꼴의 극한빈출
문제 · 기본
$\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-x-6}{x^2-9}$의 값을 구하시오.
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$\dfrac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{x+2}{x+3}$
$x\to3$
$\therefore$ $\frac56$
사고 흐름
① 대입하면 $\frac00$ 꼴인지 확인한다
② 분자·분모를 인수분해한다
③ 공통인수를 약분하고 대입한다
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문제 · 심화
$\lim_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x+8}-3}$의 값을 구하시오.
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분자: $\dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}$, 분모: $\dfrac{x-1}{\sqrt{x+8}+3}$
(식) $=\dfrac{\sqrt{x+8}+3}{\sqrt{x+3}+2}$
$x\to1$: $\dfrac{3+3}{2+2}$
$=$ $\frac32$
사고 흐름
① 분자와 분모 모두 무리식이면 둘 다 유리화한다
② $x-1$이 약분된다
③ 남은 식에 대입한다
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유형 3 $\frac\infty\infty$ 꼴의 극한
문제 · 기본
$\lim_{x\to\infty}\dfrac{4x^2-x+1}{2x^2+5x}$의 값을 구하시오.
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분자·분모를 $x^2$으로 나눈다
$\lim_{x\to\infty}\dfrac{4-\frac1x+\frac1{x^2}}{2+\frac5x}$
$=$ $2$
사고 흐름
① 분모의 최고차항을 찾는다
② 그것으로 분자·분모를 나눈다
③ $\frac{1}{x^n}\to0$을 쓴다
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문제 · 심화
$\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{4x^2+x}+x}{x+1}$의 값을 구하시오.
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$x=-t$로 놓으면 $t\to\infty$: $\lim_{t\to\infty}\dfrac{\sqrt{4t^2-t}-t}{-t+1}$
분자·분모를 $t$로 나누면 $\dfrac{\sqrt{4-\frac1t}-1}{-1+\frac1t}$
$\to\dfrac{2-1}{-1}$
$=$ $-1$
사고 흐름
① $x\to-\infty$는 $x=-t$로 바꾼다
② 근호 안을 $t^2$으로 묶어 밖으로 꺼낸다
③ 최고차항으로 나눠 계산한다
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유형 4 $\infty-\infty$ 꼴의 극한
문제 · 기본
$\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+4x}-x)$의 값을 구하시오.
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유리화: $\dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}$
분자·분모를 $x$로 나누면 $\dfrac{4}{\sqrt{1+\frac4x}+1}$
$=$ $2$
사고 흐름
① 근호가 있는 $\infty-\infty$는 유리화한다
② $\frac\infty\infty$ 꼴이 된다
③ 최고차항으로 나눈다
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문제 · 심화
$\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2-x})=3$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.
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유리화: $\dfrac{(a+1)x}{\sqrt{x^2+ax}+\sqrt{x^2-x}}$
극한값 $=\dfrac{a+1}{2}$
$\dfrac{a+1}{2}=3$
$\therefore$ $a=$ $5$
사고 흐름
① 두 근호의 차는 켤레식을 곱한다
② 극한값을 $a$의 식으로 구한다
③ 주어진 값과 같게 놓는다
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유형 5 $\infty\times0$ 꼴의 극한
문제 · 기본
$\lim_{x\to\infty}x(\sqrt{x^2+2}-x)$의 값을 구하시오.
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유리화: $x\times\dfrac{2}{\sqrt{x^2+2}+x}$
$=\dfrac{2}{\sqrt{1+\frac2{x^2}}+1}$
$\to$ $1$
사고 흐름
① $\infty\times0$은 그대로 계산할 수 없다
② 유리화해 $\frac\infty\infty$ 꼴로 바꾼다
③ 최고차항으로 나눈다
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문제 · 심화
$\lim_{x\to0}\frac1x\left(\dfrac{1}{x+2}-\frac12\right)$의 값을 구하시오.
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통분: $\dfrac{1}{x+2}-\frac12=\dfrac{-x}{2(x+2)}$
$\frac1x\times\dfrac{-x}{2(x+2)}=\dfrac{-1}{2(x+2)}$
$x\to0$
$=$ $-\frac14$
사고 흐름
① 괄호 안을 통분한다
② $x$가 약분된다
③ 남은 식에 대입한다
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유형 6 $f(x)$를 포함한 극한값의 계산
문제 · 기본
함수 $f(x)$가 $\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=2$를 만족시킬 때, $\lim_{x\to\infty}\dfrac{3f(x)-x}{f(x)+2x}$의 값을 구하시오.
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분자·분모를 $x$로 나눈다
$\dfrac{3\times\dfrac{f(x)}{x}-1}{\dfrac{f(x)}{x}+2}\to\dfrac{6-1}{2+2}$
$=$ $\frac54$
사고 흐름
① 주어진 극한 꼴 $\frac{f(x)}{x}$가 나오도록 나눈다
② 극한값을 대입한다
③ 분모가 $0$이 아닌지 확인한다
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문제 · 심화
함수 $f(x)$가 $\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)}{x-1}=2$를 만족시킬 때, $\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{f(x)}$의 값을 구하시오.
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$\dfrac{x^2-1}{f(x)}=\dfrac{x+1}{\dfrac{f(x)}{x-1}}$
$x\to1$: $\dfrac{2}{2}$
$=$ $1$
사고 흐름
① 주어진 꼴 $\frac{f(x)}{x-1}$이 보이도록 변형한다
② 분자·분모를 $x-1$로 나눈다
③ 극한값을 대입한다
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