미적분1 · 함수의 극한과 연속

04 함수의 연속

개념

연속 ① $f(a)$ 정의 ② $\lim_{x\to a}f(x)$ 존재 ③ $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

구간별 함수 경계에서 좌극한 $=$ 우극한 $=$ 함숫값

자주 나오는 유형

유형 1함수의 연속과 불연속
유형 2그래프와 연속
유형 3합성함수의 연속
유형 4구간별로 정의된 함수가 연속일 조건
유형 5분수 꼴 함수가 연속일 조건
유형 6$(x-a)f(x)$ 꼴의 함수의 연속
유형 7절댓값·$[x]$를 포함한 함수의 연속
유형 8새롭게 정의된 함수의 연속
유형 9주기함수의 연속

유형 1 함수의 연속과 불연속

문제 · 기본

보기의 함수 중 $x=1$에서 연속인 것만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. $f(x)=x^2-1$

ㄴ. $g(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1} & (x\ne1)\\ 2 & (x=1)\end{cases}$

ㄷ. $h(x)=\begin{cases}x+1 & (x\ge1)\\ x & (x<1)\end{cases}$

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ㄱ. 다항함수 (연속)

ㄴ. $\lim_{x\to1}(x+1)=2=g(1)$ (연속)

ㄷ. 좌극한 $1$, 우극한 $2$ (불연속)

$\therefore$ ㄱ, ㄴ

사고 흐름

① 연속의 세 조건을 차례로 확인한다

② 극한값과 함숫값이 같은지 본다

③ 좌우극한이 다르면 극한값이 없어 불연속

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=\dfrac{1}{x^2-x-2}$가 불연속인 모든 $x$의 값의 합을 구하시오.

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분모가 $0$인 점에서 정의되지 않는다

$x^2-x-2=(x+1)(x-2)=0$

$x=-1$, $2$에서 불연속

$\therefore$ $-1+2=$ $1$

사고 흐름

① 함숫값이 정의되지 않는 점은 불연속

② 유리함수는 분모 $=0$인 점을 찾는다

③ 나머지 점에서는 연속이다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 그래프와 연속

문제 · 기본

함수 $y=f(x)$의 그래프가 그림과 같다. 열린구간 $(-1, 3)$에서 극한값이 존재하지 않는 $x$의 개수를 $a$, 불연속인 $x$의 개수를 $b$라 할 때, $a+b$의 값을 구하시오.

$x$

$y$

$O$

$1$

$2$

$1$

$2$

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$x=1$: 좌우극한 $1$, $f(1)=2$ → 극한값은 있지만 불연속

$x=2$: 좌극한 $1$, 우극한 $2$ → 극한값 없음, 불연속

$a=1$, $b=2$

$\therefore$ $a+b=$ $3$

사고 흐름

① 끊어진 점·떨어진 점을 찾는다

② 좌우극한이 다르면 극한값이 없다

③ 극한값이 있어도 함숫값과 다르면 불연속

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $y=f(x)$의 그래프가 그림과 같다. 열린구간 $(-1, 3)$에 속하는 정수 $a$ 중 $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$를 만족시키지 않는 $a$의 값의 합을 구하시오.

$x$

$y$

$O$

$1$

$2$

$1$

$2$

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$a=0$: 좌극한 $0$, 우극한 $1$ → 극한값 없음

$a=1$: 극한값 $2$, $f(1)=1$ → 같지 않음

$a=2$: 극한값 $2=f(2)$ → 연속

$\therefore$ $0+1=$ $1$

사고 흐름

① 후보 정수마다 좌극한·우극한·함숫값을 읽는다

② 세 값이 모두 같아야 연속이다

③ 조건을 만족시키지 않는 점의 값을 더한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 합성함수의 연속

문제 · 기본

함수 $f(x)=\begin{cases}x+1 & (x\ge0)\\ x-1 & (x<0)\end{cases}$, $g(x)=x^2$에 대하여 $\lim_{x\to0}f(g(x))+f(g(0))$의 값을 구하시오.

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$x\to0$이면 $g(x)=x^2\to0+$

$\lim_{x\to0}f(g(x))=\lim_{t\to0+}(t+1)=1$

$f(g(0))=f(0)=1$ ($f(g(x))$는 $x=0$에서 연속)

$\therefore$ $1+1=$ $2$

사고 흐름

① 안쪽 함수가 다가가는 방향을 본다

② 그 방향의 바깥 함수 극한을 구한다

③ 함숫값과 비교해 연속을 판단한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=\begin{cases}1 & (x\ge0)\\ -1 & (x<0)\end{cases}$과 $g(x)=x^2+ax+b$에 대하여 $g(f(x))$가 실수 전체의 집합에서 연속이고 $g(f(0))=3$일 때, $a+b$의 값을 구하시오.

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$x\to0+$: $g(1)$, $x\to0-$: $g(-1)$

연속이려면 $g(1)=g(-1)$: $1+a+b=1-a+b$, $a=0$

$g(f(0))=g(1)=1+b=3$, $b=2$

$\therefore$ $a+b=$ $2$

사고 흐름

① 바깥 함수 $g$는 연속이므로 안쪽 값만 보면 된다

② $f$가 끊기는 점에서 좌우의 $g$ 값이 같아야 한다

③ 함숫값 조건으로 나머지를 정한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 4 구간별로 정의된 함수가 연속일 조건빈출

문제 · 기본

함수 $f(x)=\begin{cases}x^2+a & (x<2)\\ 3x-1 & (x\ge2)\end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

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다항식 부분은 연속이므로 $x=2$만 확인

$\lim_{x\to2-}(x^2+a)=f(2)$: $4+a=5$

$\therefore$ $a=$ $1$

사고 흐름

① 각 구간의 식은 다항식이라 연속이다

② 경계에서 좌극한과 함숫값을 비교한다

③ 같다고 놓아 상수를 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=\begin{cases}x+a & (x<-1)\\ x^2+bx & (-1\le x<1)\\ 2x+3 & (x\ge1)\end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $a+b$의 값을 구하시오.

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$x=1$: $1+b=5$에서 $b=4$

$x=-1$: $-1+a=1-b=-3$에서 $a=-2$

$\therefore$ $a+b=$ $2$

사고 흐름

① 경계가 두 개면 각각 확인한다

② 상수가 하나뿐인 경계부터 푼다

③ 구한 값을 다른 경계에 넣는다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 5 분수 꼴 함수가 연속일 조건빈출

문제 · 기본

함수 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2+ax-6}{x-2} & (x\ne2)\\ b & (x=2)\end{cases}$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $a+b$의 값을 구하시오.

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분모 $\to0$이므로 분자 $\to0$: $4+2a-6=0$, $a=1$

$\dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}=x+3$이므로 $b=\lim_{x\to2}(x+3)=5$

$\therefore$ $a+b=$ $6$

사고 흐름

① 연속이면 $x=2$에서 극한값이 존재해야 한다

② 분모가 $0$이므로 분자도 $0$

③ 약분한 식의 극한값이 함숫값이다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{x+a}-2}{x-1} & (x\ne1)\\ b & (x=1)\end{cases}$가 $x=1$에서 연속일 때, $a+4b$의 값을 구하시오.

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분자 $\to0$: $\sqrt{1+a}=2$, $a=3$

유리화: $\dfrac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}$

$b=\dfrac{1}{2+2}=\frac14$

$\therefore$ $a+4b=$ $4$

사고 흐름

① 분자 $\to0$ 조건으로 근호 속 상수를 구한다

② 유리화로 $x-1$을 약분한다

③ 극한값을 함숫값과 같게 놓는다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 6 $(x-a)f(x)$ 꼴의 함수의 연속빈출

문제 · 기본

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $(x-1)f(x)=x^2+2x-3$을 만족시킬 때, $f(1)$의 값을 구하시오.

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$x\ne1$이면 $f(x)=\dfrac{(x-1)(x+3)}{x-1}=x+3$

연속이므로 $f(1)=\lim_{x\to1}f(x)$

$=\lim_{x\to1}(x+3)=$ $4$

사고 흐름

① $x\ne a$에서 $f(x)$를 나눗셈으로 구한다

② $x=a$에서는 연속성으로 함숫값을 정한다

③ 극한값을 계산한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $(x^2-4)f(x)=x^3+ax+b$를 만족시킬 때, $a+b+f(2)$의 값을 구하시오.

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$x=2$, $-2$ 대입: $8+2a+b=0$, $-8-2a+b=0$

$b=0$, $a=-4$이므로 $x^3-4x=x(x^2-4)$

$f(x)=x$ ($x\ne\pm2$), 연속이므로 $f(2)=2$

$\therefore$ $-4+0+2=$ $-2$

사고 흐름

① 좌변이 $0$이 되는 $x$를 대입한다

② 우변도 그 인수를 가져야 한다

③ 나눈 뒤 연속성으로 함숫값을 정한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 7 절댓값·$[x]$를 포함한 함수의 연속

문제 · 기본

함수 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{|x-1|(x+a)}{x-1} & (x\ne1)\\ b & (x=1)\end{cases}$이 $x=1$에서 연속일 때, $b-a$의 값을 구하시오.

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우극한 $1+a$, 좌극한 $-(1+a)$

극한값이 존재하려면 $1+a=-(1+a)$, $a=-1$

극한값 $0$이므로 $b=0$

$\therefore$ $b-a=$ $1$

사고 흐름

① 절댓값을 좌우로 풀어 극한을 구한다

② 좌우극한이 같아야 한다 (반대 부호면 $0$)

③ 그 값을 함숫값으로 정한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=[x](x^2+ax+b)$가 $x=1$, $x=2$에서 연속일 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수)

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$x=1$: 우극한 $1\times(1+a+b)$, 좌극한 $0$ → $1+a+b=0$

$x=2$: 우극한 $2(4+2a+b)$, 좌극한 $1\times(4+2a+b)$ → $4+2a+b=0$

$a=-3$, $b=2$

$\therefore$ $a+b=$ $-1$

사고 흐름

① 정수에서 $[x]$의 좌우 값을 정한다

② 곱이 연속이려면 괄호 안이 $0$이어야 한다

③ 두 조건을 연립한다

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유형 8 새롭게 정의된 함수의 연속빈출

문제 · 기본

실수 $t$에 대하여 직선 $y=t$와 곡선 $y=x^2-2x$의 교점의 개수를 $g(t)$라 할 때, 함수 $g(t)$가 불연속인 $t$의 값을 구하시오.

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$y=x^2-2x$의 꼭짓점 $(1, -1)$

$t<-1$: $0$개, $t=-1$: $1$개, $t>-1$: $2$개

$t=-1$에서만 값이 갑자기 바뀐다

$\therefore$ $t=$ $-1$

사고 흐름

① 곡선을 그리고 수평선을 움직인다

② $t$의 범위별로 $g(t)$를 정리한다

③ 값이 끊기는 $t$가 불연속점

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

실수 $t$에 대하여 직선 $y=t$와 곡선 $y=|x^2-4|$의 교점의 개수를 $g(t)$라 하자. 함수 $(t-a)g(t)$가 $t=4$에서 연속일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

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$0<t<4$: $4$개, $t=4$: $3$개, $t>4$: $2$개

좌극한 $4(4-a)$, 우극한 $2(4-a)$, 함숫값 $3(4-a)$

모두 같으려면 $4-a=0$

$\therefore$ $a=$ $4$

사고 흐름

① $g(t)$의 불연속점과 좌우 값을 구한다

② 곱해진 $(t-a)$가 $0$이 되면 차이가 사라진다

③ 세 값이 같아지는 조건을 푼다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 9 주기함수의 연속

문제 · 기본

함수 $f(x)$가 $f(x)=\begin{cases}x+a & (0\le x<1)\\ b-x & (1\le x<2)\end{cases}$이고 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+2)=f(x)$이다. $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이고 $f(1)=3$일 때, $a+b$의 값을 구하시오.

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$f(1)=b-1=3$에서 $b=4$

$x=1$에서 연속: $1+a=b-1$, $a=2$

$x=2$: 좌극한 $b-2=2$, $f(2)=f(0)=a=2$ ✓

$\therefore$ $a+b=$ $6$

사고 흐름

① 한 주기 안의 경계에서 연속 조건을 쓴다

② 주기의 끝과 시작($x=2$와 $x=0$)도 이어져야 한다

③ 함숫값 조건과 함께 연립한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)$가 $0\le x<3$에서 $f(x)=x^2+ax+2$이고 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+3)=f(x)$이다. $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $f(4)$의 값을 구하시오.

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$x=3$에서 연속: $\lim_{x\to3-}f(x)=f(3)=f(0)$

$9+3a+2=2$에서 $a=-3$

$f(4)=f(1)=1-3+2$

$=$ $0$

사고 흐름

① 주기의 끝에서 좌극한이 처음 값과 같아야 한다

② 그 조건으로 계수를 구한다

③ 주기로 $f(4)$를 $f(1)$로 바꾼다

DOYEONMATH · 김도연T