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공통수학2 · 함수

01 함수의 뜻과 그래프

개념
함수 $X$의 각 원소에 $Y$의 원소가 오직 하나씩 대응
치역 함숫값 전체의 집합, (치역) $\subset$ (공역)
그래프 직선 $x=k$와 오직 한 점에서 만난다
같은 함수 정의역이 같고 모든 $x$에서 $f(x)=g(x)$
자주 나오는 유형

유형 1 함수의 뜻과 그래프 판정빈출

문제 · 기본
두 집합 $X=\{-1, 0, 1\}$, $Y=\{0, 1, 2, 3\}$에 대하여 보기에서 $X$에서 $Y$로의 함수인 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. $f(x)=x^2$
ㄴ. $f(x)=x+2$
ㄷ. $f(x)=2x$
ㄹ. $f(x)=x^3$
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ㄱ. 함숫값 $1$, $0$, $1$ → 모두 $Y$의 원소, 함수
ㄴ. 함숫값 $1$, $2$, $3$ → 함수
ㄷ. $f(-1)=-2$는 $Y$의 원소가 아니다 → 함수가 아니다
ㄹ. $f(-1)=-1$도 $Y$의 원소가 아니다 → 함수가 아니다
$\therefore$ ㄱ, ㄴ
사고 흐름
① 정의역의 원소를 하나씩 대입한다
② 함숫값이 모두 공역 안에 있는지 본다
③ 하나라도 공역 밖이면 함수가 아니다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
두 집합 $X=\{x\mid -1\le x\le 3\}$, $Y=\{y\mid -2\le y\le 6\}$에 대하여 $f(x)=x^2-2x+a$가 $X$에서 $Y$로의 함수가 되도록 하는 정수 $a$의 개수를 구하시오.
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$f(x)=(x-1)^2+a-1$이므로 $-1\le x\le 3$에서
최솟값 $f(1)=a-1$, 최댓값 $f(-1)=f(3)=a+3$
함수이려면 치역 $\{y\mid a-1\le y\le a+3\}\subset Y$
$a-1\ge -2$, $a+3\le 6$에서 $-1\le a\le 3$
$\therefore$ $5$개
사고 흐름
① 함수이려면 (치역) $\subset$ (공역)
② 이차함수는 꼭짓점과 양 끝에서 최대·최소
③ 치역의 양 끝이 공역 안에 들게 부등식을 세운다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 함숫값

문제 · 기본
함수 $f(x)=\begin{cases} x^2-1 & (x\text{는 유리수}) \\ 2x+1 & (x\text{는 무리수}) \end{cases}$에 대하여 $f(3)+f(\sqrt{3}-1)$의 값을 구하시오.
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$3$은 유리수 → $f(3)=3^2-1=8$
$\sqrt{3}-1$은 무리수 → $f(\sqrt{3}-1)=2(\sqrt{3}-1)+1=2\sqrt{3}-1$
$\therefore$ $8+(2\sqrt{3}-1)=$ $7+2\sqrt{3}$
사고 흐름
① $x$가 어느 조건에 속하는지 먼저 판단한다
② 조건에 맞는 식에만 대입한다
③ 유리수 $+$ 무리수는 무리수임을 이용한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(2x-1)=4x^2-2x+3$을 만족시킬 때, 방정식 $f(x)=5$의 모든 실근의 합을 구하시오.
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$2x-1=t$로 놓으면 $x=\dfrac{t+1}{2}$
$f(t)=(t+1)^2-(t+1)+3=t^2+t+3$
$f(x)=5$에서 $x^2+x-2=0$, $(x+2)(x-1)=0$
$\therefore$ 모든 실근의 합 $-1$
사고 흐름
① 괄호 안의 식 $2x-1$을 $t$로 치환한다
② $x$를 $t$로 나타내 대입해 $f(t)$를 구한다
③ $f(x)$의 식으로 방정식을 푼다
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유형 3 정의역, 공역, 치역

문제 · 기본
집합 $X=\{x\mid 1\le x\le 3\}$에서 집합 $Y=\{y\mid -1\le y\le 5\}$로의 함수 $f(x)=ax+b$의 치역과 공역이 같을 때, $ab$의 값을 구하시오. (단, $a<0$)
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$a<0$이면 $x$가 커질 때 $f(x)$는 작아진다
$f(1)=5$, $f(3)=-1$ (끝값이 거꾸로 대응)
$a+b=5$, $3a+b=-1$에서 $a=-3$, $b=8$
$\therefore$ $ab=$ $-24$
사고 흐름
① 치역 = 공역이면 끝값끼리 대응한다
② 기울기가 음수면 끝값을 거꾸로 맞춘다
③ 두 식을 연립한다
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문제 · 심화
함수 $f(x)=x^2-4x+k$의 정의역이 $\{x\mid a\le x\le 5\}$이고 치역이 $\{y\mid 1\le y\le 10\}$일 때, 실수 $a$의 최솟값과 상수 $k$의 합을 구하시오.
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$f(x)=(x-2)^2+k-4$, $f(5)=k+5$
$a>2$이면 $f(a)=1$, $f(5)=10$에서 $a=2$ → 모순
꼭짓점이 정의역 안 → $k-4=1$, $k=5$
$f(a)=a^2-4a+5\le 10$에서 $-1\le a\le 2$
$\therefore$ $-1+5=$ $4$
$x$
$y$
$O$
$-1$
$2$
$5$
$10$
$1$
사고 흐름
① 꼭짓점이 정의역 안에 있는지부터 따진다
② 꼭짓점의 $y$좌표 = 치역의 최솟값
③ 다른 끝값이 최댓값을 넘지 않게 한다
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유형 4 조건을 이용하여 함숫값 구하기

문제 · 기본
함수 $f$가 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 $f(x+y)=f(x)+f(y)$를 만족시키고 $f(1)=3$일 때, $f(-2)$의 값을 구하시오.
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$x=y=0$을 대입: $f(0)=2f(0)$ → $f(0)=0$
$x=y=1$을 대입: $f(2)=2f(1)=6$
$x=2$, $y=-2$를 대입: $f(0)=f(2)+f(-2)$
$\therefore$ $f(-2)=$ $-6$
사고 흐름
① $x=y=0$을 넣어 $f(0)$부터 구한다
② 주어진 값 $f(1)$로 $f(2)$를 만든다
③ 합이 $0$이 되게 넣어 음수의 함숫값을 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f$가 $0$이 아닌 모든 실수 $x$에 대하여 $2f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=3x$를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.
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$x=2$를 대입: $2f(2)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)=6$ … ㉠
$x=\dfrac{1}{2}$을 대입: $2f\left(\dfrac{1}{2}\right)+f(2)=\dfrac{3}{2}$ … ㉡
㉠ $\times 2-$ ㉡: $3f(2)=12-\dfrac{3}{2}=\dfrac{21}{2}$
$\therefore$ $f(2)=$ $\dfrac{7}{2}$
사고 흐름
① $x$와 $\dfrac{1}{x}$이 짝을 이루는 식이다
② $2$와 $\dfrac{1}{2}$을 각각 대입해 식 두 개를 만든다
③ 두 함숫값을 미지수로 놓고 연립한다
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유형 5 서로 같은 함수빈출

문제 · 기본
정의역이 $\{-1, 2\}$인 두 함수 $f(x)=ax+3$, $g(x)=x^2+b$에 대하여 $f=g$일 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수)
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$f=g$이면 정의역의 모든 원소에서 $f(x)=g(x)$
$f(-1)=g(-1)$: $-a+3=1+b$
$f(2)=g(2)$: $2a+3=4+b$
연립하면 $a=1$, $b=1$ $\therefore$ $2$
사고 흐름
① 정의역이 같은지 먼저 확인한다
② 정의역의 원소마다 함숫값이 같다는 식을 세운다
③ 세운 식을 연립한다
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문제 · 심화
공집합이 아닌 집합 $X$를 정의역으로 하는 두 함수 $f(x)=x^3+2$, $g(x)=x^2+2x$에 대하여 $f=g$가 되도록 하는 집합 $X$의 개수를 $m$, 이러한 모든 $X$의 원소의 합을 모두 더한 값을 $n$이라 할 때, $m+n$의 값을 구하시오.
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$x^3+2=x^2+2x$에서 $(x-1)(x^2-2)=0$
$x=1$, $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$
$X$는 $\{1, \sqrt{2}, -\sqrt{2}\}$의 공집합이 아닌 부분집합 → $m=2^3-1=7$
각 원소는 $2^2=4$개의 $X$에 들어가므로 $n=4(1+\sqrt{2}-\sqrt{2})=4$
$\therefore$ $m+n=$ $11$
사고 흐름
① $f(x)=g(x)$를 풀어 정의역 후보를 구한다
② $X$는 후보 집합의 공집합이 아닌 부분집합
③ 원소의 합은 원소마다 몇 번 들어가는지로 센다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 6 절댓값 기호를 포함한 식의 그래프

문제 · 기본
함수 $y=|x^2-2x-3|$의 그래프와 직선 $y=k$가 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오.
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$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$의 그래프에서
$y<0$인 부분을 $x$축 위로 접어 올린다
꼭짓점 $(1, -4)$ → $(1, 4)$
네 점에서 만나려면 $0<k<4$
$\therefore$ $k=1$, $2$, $3$ → $3$개
$x$
$y$
$O$
$y=k$
$-1$
$3$
$4$
사고 흐름
① 절댓값 안의 그래프를 먼저 그린다
② $x$축 아래 부분을 위로 접어 올린다
③ 직선 $y=k$를 위아래로 움직이며 교점을 센다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $y=|x-1|+|x-3|$의 그래프와 직선 $y=m(x+1)$이 만나도록 하는 양수 $m$의 최솟값을 구하시오.
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$x<1$: $y=-2x+4$
$1\le x<3$: $y=2$, $x\ge 3$: $y=2x-4$
직선은 항상 점 $(-1, 0)$을 지난다
꺾인 점 $(3, 2)$를 지날 때 $m$이 최소
$2=m(3+1)$ $\therefore$ $\dfrac{1}{2}$
$x$
$y$
$O$
$(3, 2)$
$-1$
$1$
$3$
$2$
사고 흐름
① 절댓값 안이 $0$이 되는 $x$로 구간을 나눈다
② 직선이 늘 지나는 점을 찾는다
③ 그 점을 중심으로 직선을 돌려 경계를 찾는다
DOYEONMATH · 김도연T