공통수학2 · 함수

03 합성함수

개념

합성함수 $(g\circ f)(x)=g(f(x))$, ($f$의 치역) $\subset$ ($g$의 정의역)

성질 $g\circ f\neq f\circ g$, $(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$

추정 $f^1, f^2, f^3, \cdots$을 구해 반복되는 규칙을 찾는다

자주 나오는 유형

유형 1합성함수가 정의되는 조건
유형 2합성함수의 함숫값
유형 3합성함수와 일대일대응
유형 4$f\circ g=g\circ f$, $f\circ f$에 대한 조건
유형 5$f\circ h=g$에서 함수 구하기
유형 6합성함수의 추정 ($f^n$)
유형 7합성함수의 그래프
유형 8합성함수의 최대·최소
유형 9$f(f(x))=a$의 실근

유형 1 합성함수가 정의되는 조건

문제 · 기본

집합 $X=\{x\mid 0\le x\le 2\}$에서 정의된 함수 $f(x)=ax+1$에 대하여 합성함수 $f\circ f$가 정의되도록 하는 양수 $a$의 최댓값을 구하시오.

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$f\circ f$가 정의되려면 ($f$의 치역) $\subset$ ($f$의 정의역) $X$

$a>0$이므로 치역 $\{y\mid 1\le y\le 2a+1\}$

$2a+1\le 2$에서 $a\le \dfrac{1}{2}$

$\therefore$ $\dfrac{1}{2}$

사고 흐름

① 안쪽 함수의 치역을 구한다

② 바깥 함수의 정의역 안에 들어가야 한다

③ 치역의 양 끝으로 부등식을 세운다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

집합 $X=\{-1, 0, 1\}$에서 정의된 함수 $f(x)=ax^2+bx$에 대하여 합성함수 $f\circ f$가 정의되도록 하는 정수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$의 개수를 구하시오.

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$f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$이 모두 $X$의 원소

$f(0)=0$, $f(-1)=a-b$, $f(1)=a+b$

$a=\dfrac{(a+b)+(a-b)}{2}$가 정수 → 두 값의 홀짝이 같다

$(a-b, a+b)=(0, 0)$, $(\pm 1, \pm 1)$ $\therefore$ $5$

사고 흐름

① 정의역이 유한집합이면 함숫값을 모두 나열한다

② 함숫값이 모두 정의역 안에 들어야 한다

③ 정수 조건으로 가능한 경우를 센다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 합성함수의 함숫값빈출

문제 · 기본

두 함수 $f(x)=2x-1$, $g(x)=x^2+1$에 대하여 $(g\circ f)(2)+(f\circ g)(-1)$의 값을 구하시오.

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$(g\circ f)(2)=g(f(2))=g(3)=10$

$(f\circ g)(-1)=f(g(-1))=f(2)=3$

$\therefore$ $10+3=$ $13$

사고 흐름

① $(g\circ f)(a)$는 $f$부터 계산한다

② 안쪽 함숫값을 바깥 함수에 넣는다

③ $g\circ f$와 $f\circ g$는 다르다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

세 함수 $f$, $g$, $h$에 대하여 $(h\circ g)(x)=x^2+2x$, $f(x)=\begin{cases} x+1 & (x\ge 0) \\ -x & (x<0) \end{cases}$일 때, $(h\circ(g\circ f))(a)=8$을 만족시키는 모든 실수 $a$의 값의 합을 구하시오.

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결합법칙에서 $(h\circ g)(f(a))=8$

$f(a)=t$로 놓으면 $t^2+2t-8=0$, $t=2$ 또는 $t=-4$

$f$의 치역은 $\{y\mid y>0\}$이므로 $f(a)=2$

$a\ge 0$: $a=1$, $a<0$: $a=-2$

$\therefore$ $-1$

사고 흐름

① 결합법칙으로 주어진 합성함수를 통째로 쓴다

② 안쪽 값을 $t$로 놓고 $t$의 범위를 확인한다

③ 구간마다 식을 바꿔 $a$를 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 합성함수와 일대일대응

문제 · 기본

집합 $X=\{1, 2, 3\}$에서 $X$로의 두 함수 $f$, $g$가 일대일대응이고 $f(1)=3$, $g(3)=2$, $(f\circ g)(1)=1$일 때, $(g\circ f)(2)+f(3)$의 값을 구하시오.

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$g(3)=2$이므로 $g(1)$은 $1$ 또는 $3$

$g(1)=1$이면 $f(1)=1$ → $f(1)=3$에 모순

$g(1)=3$, $f(3)=1$ → $f(2)=2$, $g(2)=1$

$g(f(2))+f(3)=g(2)+1=$ $2$

사고 흐름

① 일대일대응이면 남은 값이 하나씩 정해진다

② 가능한 경우를 나눠 모순인 경우를 지운다

③ 정해진 값으로 합성함숫값을 계산한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

집합 $X=\{1, 2, 3, 4\}$에서 $X$로의 두 함수 $f$, $g$가 일대일대응이고 $f(1)=2$, $g(3)=4$, $(f\circ g)(2)=1$, $(g\circ f)(4)=2$일 때, $(g\circ f)(2)+g(1)$의 값을 구하시오.

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$f(g(2))=1$, $f(1)=2$, $g(3)=4$이므로 $g(2)$는 $2$ 또는 $3$

$g(2)=2$이면 $f(2)=1$, $f(4)=4$, $g(4)=2=g(2)$ → 모순

$g(2)=3$, $f(3)=1$ → $f(4)=4$, $f(2)=3$, $g(4)=2$, $g(1)=1$

$g(3)+g(1)=4+1=$ $5$

사고 흐름

① 주어진 값으로 남은 후보를 줄인다

② 후보마다 끝까지 따라가 모순을 찾는다

③ 남은 경우로 모든 값을 확정한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 4 $f\circ g=g\circ f$, $f\circ f$에 대한 조건

문제 · 기본

두 함수 $f(x)=2x+a$, $g(x)=-x+4$에 대하여 $f\circ g=g\circ f$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.

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$(f\circ g)(x)=2(-x+4)+a=-2x+8+a$

$(g\circ f)(x)=-(2x+a)+4=-2x+4-a$

상수항 비교: $8+a=4-a$

$\therefore$ $a=$ $-2$

사고 흐름

① 두 합성함수를 각각 식으로 구한다

② 모든 $x$에서 같으므로 계수를 비교한다

③ $x=0$ 하나만 대입해도 된다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

일차함수 $f(x)=ax+b$에 대하여 $(f\circ f)(x)=4x-9$일 때, 가능한 $f(2)$의 값의 합을 구하시오.

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$(f\circ f)(x)=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b$

$a^2=4$, $(a+1)b=-9$

$a=2$이면 $b=-3$, $a=-2$이면 $b=9$

$f(2)=1$ 또는 $5$ $\therefore$ $6$

사고 흐름

① $f\circ f$를 $a$, $b$로 나타낸다

② 계수를 비교해 식을 세운다

③ $a=\pm 2$ 두 경우를 모두 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 5 $f\circ h=g$에서 함수 구하기

문제 · 기본

두 함수 $f(x)=2x-1$, $g(x)=4x+5$에 대하여 $f\circ h=g$를 만족시키는 함수 $h$에 대하여 $h(1)$의 값을 구하시오.

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$(f\circ h)(x)=f(h(x))=2h(x)-1$

$2h(x)-1=4x+5$

$h(x)=2x+3$ $\therefore$ $h(1)=$ $5$

사고 흐름

① 바깥 함수 $f$의 식에 $h(x)$를 넣는다

② $g(x)$와 같다고 놓는다

③ $h(x)$에 대해 푼다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

두 함수 $f(x)=-x+2$, $g(x)=2x-3$에 대하여 $f\circ h=g$, $k\circ f=g$를 만족시키는 두 함수 $h$, $k$에 대하여 $h(1)+k(1)$의 값을 구하시오.

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$f\circ h=g$: $-h(x)+2=2x-3$ → $h(x)=-2x+5$

$k\circ f=g$: $k(-x+2)=2x-3$

$-x+2=t$로 치환: $x=2-t$ → $k(t)=1-2t$

$3+(-1)=$ $2$

사고 흐름

① 구할 함수가 바깥인지 안쪽인지 본다

② 바깥이면 대입, 안쪽이면 치환

③ 치환한 뒤 $t$를 $x$로 바꿔 쓴다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 6 합성함수의 추정 ($f^n$)

문제 · 기본

집합 $X=\{1, 2, 3, 4\}$에서 $X$로의 함수 $f$가 $f(1)=3$, $f(2)=1$, $f(3)=4$, $f(4)=2$일 때, $f^{50}(1)+f^{100}(3)$의 값을 구하시오. (단, $f^1=f$, $f^{n+1}=f\circ f^n$)

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$1\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2\rightarrow 1$: $4$번마다 처음으로

$f^4=I$ (항등함수)

$f^{50}(1)=f^{2}(1)=4$, $f^{100}(3)=3$

$\therefore$ $7$

사고 흐름

① 한 원소에서 시작해 차례로 따라간다

② 처음으로 돌아오는 주기를 찾는다

③ 지수를 주기로 나눈 나머지만 본다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

자연수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{2} & (x\text{는 짝수}) \\ x+3 & (x\text{는 홀수}) \end{cases}$에 대하여 $f^{100}(5)+f^{101}(5)$의 값을 구하시오. (단, $f^1=f$, $f^{n+1}=f\circ f^n$)

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$f(5)=8$, $f^2(5)=4$, $f^3(5)=2$, $f^4(5)=1$, $f^5(5)=4$, $\cdots$

$n\ge 2$이면 $4$, $2$, $1$이 반복 (주기 $3$)

$100=3\times 33+1$ → $f^{100}(5)=f^4(5)=1$

$f^{101}(5)=f^5(5)=4$ $\therefore$ $5$

사고 흐름

① 처음 몇 개를 직접 계산한다

② 반복이 몇 번째부터 시작하는지 본다

③ 시작 위치를 맞춰 나머지로 판단한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 7 합성함수의 그래프

문제 · 기본

$0\le x\le 2$에서 정의된 함수 $f(x)=\begin{cases} 2x & (0\le x<1) \\ -2x+4 & (1\le x\le 2) \end{cases}$에 대하여 방정식 $(f\circ f)(x)=1$의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.

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$f(x)$가 $1$보다 작은지 큰지로 구간을 나눈다

$0\le x<\dfrac{1}{2}$: $4x$

$\dfrac{1}{2}\le x<1$: $-4x+4$

$1\le x<\dfrac{3}{2}$: $4x-4$

$\dfrac{3}{2}\le x\le 2$: $-4x+8$

$y=1$과 네 점에서 만난다 → $4$

$x$

$y$

$O$

$1$

$2$

$1$

$2$

사고 흐름

① 안쪽 함숫값이 바깥 함수의 경계를 넘는 $x$를 찾는다

② 구간마다 합성함수의 식을 구한다

③ 그래프를 그려 직선과의 교점을 센다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

$0\le x\le 2$에서 정의된 두 함수 $g(x)=|2x-2|$, $f(x)=\begin{cases} 2x & (0\le x\le 1) \\ 2 & (1<x\le 2) \end{cases}$에 대하여 $y=(f\circ g)(x)$의 그래프와 $x$축, $y$축 및 직선 $x=2$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

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$g(x)\le 1$일 때 $f(g(x))=2g(x)=2|2x-2|$

$g(x)>1$일 때 $f(g(x))=2$

넓이 $=2\times 2-\dfrac{1}{2}\times 1\times 2$

$\therefore$ $3$

$x$

$y$

$O$

$1$

$2$

사고 흐름

① 바깥 함수 $f$의 경계값 $1$을 안쪽 $g$가 넘는 곳을 찾는다

② 구간마다 $f(g(x))$의 식을 정한다

③ 그래프를 그려 넓이를 도형으로 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 8 합성함수의 최대·최소

문제 · 기본

두 함수 $f(x)=x^2+4$, $g(x)=x^2-6x+10$에 대하여 $(g\circ f)(x)$의 최솟값을 구하시오.

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$f(x)=t$로 놓으면 $t=x^2+4\ge 4$

$(g\circ f)(x)=g(t)=(t-3)^2+1$

$t\ge 4$에서 $t=4$일 때 최소

$\therefore$ $g(4)=$ $2$

사고 흐름

① 안쪽 함수를 $t$로 치환한다

② $t$의 범위부터 구한다

③ 그 범위에서 이차함수의 최솟값을 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

$0\le x\le 5$에서 두 함수 $f(x)=|x-2|-1$, $g(x)=-x^2+2x+3$에 대하여 $(g\circ f)(x)$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

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$f(x)=t$로 놓으면 $0\le x\le 5$에서 $-1\le t\le 2$

$g(t)=-(t-1)^2+4$

최댓값 $g(1)=4$, 최솟값 $g(-1)=0$

$\therefore$ $4$

사고 흐름

① 안쪽 함수의 그래프로 $t$의 범위를 구한다

② 꼭짓점이 범위 안인지 확인한다

③ 꼭짓점과 양 끝값을 비교한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 9 $f(f(x))=a$의 실근빈출

문제 · 기본

함수 $f(x)=x^2-2x$에 대하여 방정식 $f(f(x))=0$의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.

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$f(x)=t$로 놓으면 $f(t)=t^2-2t=0$

$t=0$ 또는 $t=2$

$f(x)=0$: $x=0$, $2$ / $f(x)=2$: $x=1\pm\sqrt{3}$

$\therefore$ $4$개

사고 흐름

① $f(x)=t$로 치환해 $f(t)=0$을 푼다

② 나온 $t$마다 $f(x)=t$를 다시 푼다

③ 겹치는 근이 없는지 확인한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

$0\le x\le 4$에서 정의된 함수 $f(x)=\begin{cases} 2x & (0\le x\le 2) \\ 8-2x & (2<x\le 4) \end{cases}$에 대하여 방정식 $(f\circ f)(x)=f(x)$의 모든 실근의 합을 구하시오.

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$f(x)=t$로 놓으면 $f(t)=t$

$2t=t$ → $t=0$, $8-2t=t$ → $t=\dfrac{8}{3}$

$f(x)=0$: $x=0$, $4$

$f(x)=\dfrac{8}{3}$: $x=\dfrac{4}{3}$, $\dfrac{8}{3}$

$\therefore$ $8$

$x$

$y$

$O$

$2$

$4$

$\dfrac{8}{3}$

$4$

사고 흐름

① $f(x)=t$로 놓아 $f(t)=t$를 만든다

② $y=x$와의 교점으로 $t$를 구한다

③ 각 $t$에 대해 $f(x)=t$의 근을 모두 더한다

DOYEONMATH · 김도연T