공통수학2 · 함수

05 역함수의 그래프

개념

대칭 $y=f(x)$와 $y=f^{-1}(x)$는 직선 $y=x$에 대하여 대칭

점 $(a, b)$를 지나면 역함수의 그래프는 $(b, a)$를 지난다

교점 증가함수이면 $y=f(x)$와 $y=x$의 교점과 같다

자주 나오는 유형

유형 1그래프로 역함수의 함숫값 구하기
유형 2$f=f^{-1}$인 함수
유형 3함수와 역함수의 그래프의 교점
유형 4역함수의 그래프로 둘러싸인 넓이

유형 1 그래프로 역함수의 함숫값 구하기빈출

문제 · 기본

함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=x$가 그림과 같을 때, $(f^{-1}\circ f^{-1})(d)$의 값을 구하시오. (단, 점선은 좌표축에 평행하다.)

$x$

$y$

$O$

$y=x$

$a$

$b$

$c$

$d$

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그래프에서 $f(a)=b$, $f(b)=c$, $f(c)=d$

$f(c)=d$이므로 $f^{-1}(d)=c$

$f^{-1}(c)=b$

$\therefore$ $f^{-1}(f^{-1}(d))=$ $b$

사고 흐름

① 점선을 $y=x$에 옮겨 $x$축의 값으로 읽는다

② $f^{-1}(k)=t \Leftrightarrow f(t)=k$

③ 안쪽 역함숫값부터 차례로 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

일차함수 $f(x)=ax+b$에 대하여 $y=f(x)$와 $y=f^{-1}(x)$의 그래프가 모두 점 $(2, 5)$를 지날 때, $f(-1)$의 값을 구하시오.

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$y=f(x)$가 $(2, 5)$를 지난다: $2a+b=5$

$y=f^{-1}(x)$가 $(2, 5)$를 지나면 $y=f(x)$는 $(5, 2)$를 지난다

$5a+b=2$이므로 $a=-1$, $b=7$

$\therefore$ $f(-1)=$ $8$

$x$

$y$

$O$

$(2, 5)$

$(5, 2)$

$7$

사고 흐름

① 역함수 위의 점은 $x$, $y$를 바꿔 $f$ 위의 점으로

② $f$ 위의 두 점으로 직선을 정한다

③ 기울기 $-1$이면 $f=f^{-1}$임을 확인할 수 있다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 $f=f^{-1}$인 함수빈출

문제 · 기본

함수 $f(x)=ax+3$에 대하여 $f=f^{-1}$일 때, $f(5)$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수)

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$f=f^{-1}$ ⇔ $(f\circ f)(x)=x$

$a(ax+3)+3=a^2x+3a+3=x$

$a^2=1$, $3a+3=0$ → $a=-1$ ($a=1$이면 상수항이 $6$)

$f(x)=-x+3$ $\therefore$ $f(5)=$ $-2$

사고 흐름

① $f=f^{-1}$을 $f\circ f=I$로 바꾼다

② 계수를 비교한다

③ $a=1$인 경우도 확인한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

일차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(f(x))=x$이고 $f(1)=4$이다. 함수 $g(x)=x^2-2x+3$에 대하여 $(g\circ f)(x)$는 $x=m$에서 최솟값 $n$을 가질 때, $m+n$의 값을 구하시오.

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$f(x)=ax+b$: $a^2=1$, $(a+1)b=0$

$a=1$이면 $f(x)=x$ → $f(1)=4$에 모순 → $a=-1$, $b=5$

$(g\circ f)(x)=g(-x+5)=x^2-8x+18=(x-4)^2+2$

$m=4$, $n=2$ $\therefore$ $6$

사고 흐름

① $f(f(x))=x$이면 $f=f^{-1}$

② 일차함수는 $y=x$ 또는 기울기 $-1$인 직선

③ 구한 $f$를 넣어 이차함수의 최솟값을 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 함수와 역함수의 그래프의 교점빈출

문제 · 기본

함수 $f(x)=x^2-2x+\dfrac{5}{4}$ $(x\ge 1)$와 그 역함수의 그래프의 교점의 좌표가 $(a, b)$일 때, $a+b$의 값을 구하시오.

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$x\ge 1$에서 $f$는 증가 → 교점은 $y=f(x)$와 $y=x$의 교점

$x^2-2x+\dfrac{5}{4}=x$, $(2x-1)(2x-5)=0$

$x\ge 1$이므로 $x=\dfrac{5}{2}$ ($x=\dfrac{1}{2}$은 정의역 밖)

$\therefore$ $a+b=$ $5$

$x$

$y$

$O$

$1$

$\dfrac{5}{2}$

사고 흐름

① 증가함수인지 먼저 확인한다

② 증가함수면 $f(x)=x$를 푼다

③ 정의역 밖의 근은 버린다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=x^2+k$ $(x\ge 0)$의 그래프와 그 역함수의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

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$x\ge 0$에서 증가 → 교점은 직선 $y=x$ 위

$x^2-x+k=0$이 음이 아닌 서로 다른 두 실근

판별식 $1-4k>0$, 두 근의 곱 $k\ge 0$ (합 $1>0$)

$\therefore$ $0\le k<\dfrac{1}{4}$

사고 흐름

① 교점을 $y=x$ 위의 근 문제로 바꾼다

② 근이 정의역($x\ge 0$) 안에 있어야 한다

③ 판별식과 근과 계수의 관계로 조건을 세운다

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유형 4 역함수의 그래프로 둘러싸인 넓이빈출

문제 · 기본

함수 $f(x)=\dfrac{1}{2}x+1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 두 함수 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 그래프와 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

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교점: $\dfrac{1}{2}x+1=x$에서 $(2, 2)$

넓이 $=$ ($y=f(x)$, $y=x$, $y$축 사이) $\times 2$

세 점 $(0, 0)$, $(0, 1)$, $(2, 2)$의 삼각형: $\dfrac{1}{2}\times 1\times 2=1$

$\therefore$ $2$

$x$

$y$

$O$

$(2, 2)$

$1$

사고 흐름

① $y=x$에 대하여 대칭인 두 부분으로 나눈다

② 한쪽 넓이를 구해 $2$배 한다

③ 교점과 절편으로 삼각형을 만든다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=\begin{cases} 2x & (x<1) \\ \dfrac{x+3}{2} & (x\ge 1) \end{cases}$와 그 역함수의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

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$f(x)=x$에서 $x=0$, $x=3$

넓이 $=$ ($y=f(x)$와 $y=x$ 사이) $\times 2$

꺾인 점 $(1, 2)$와 $(0, 0)$, $(3, 3)$의 삼각형

넓이 $\dfrac{1}{2}|1\times 3-3\times 2|=\dfrac{3}{2}$

$\therefore$ $\dfrac{3}{2}\times 2=$ $3$

$x$

$y$

$O$

$(3, 3)$

사고 흐름

① $f(x)=x$로 두 교점을 구한다

② 꺾인 점까지 넣어 $y=x$와의 넓이를 구한다

③ 대칭이므로 $2$배 한다

DOYEONMATH · 김도연T