공통수학2 · 명제
04 명제의 역과 대우
개념
역 $p\rightarrow q$의 역은 $q\rightarrow p$
대우 $p\rightarrow q$의 대우는 $\sim q\rightarrow \sim p$
참·거짓 명제와 대우는 늘 같고, 역은 다를 수 있다
삼단논법 $p\rightarrow q$, $q\rightarrow r$이 참이면 $p\rightarrow r$도 참
자주 나오는 유형
유형 1 명제의 역과 대우의 참, 거짓빈출
문제 · 기본
두 실수 $x$, $y$에 대하여 보기의 명제 중 역이 참인 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. $x=1$이면 $x^2=1$
ㄴ. $x>0$, $y>0$이면 $xy>0$
ㄷ. $x=y=0$이면 $x^2+y^2=0$
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ㄱ. 역: $x^2=1$이면 $x=1$ → [반례] $x=-1$
ㄴ. 역: $xy>0$이면 $x>0$, $y>0$ → [반례] $x=y=-1$
ㄷ. 역: $x^2+y^2=0$이면 $x=y=0$ → 참
$\therefore$ ㄷ
사고 흐름
① 가정과 결론을 바꿔 역을 쓴다
② 원래 명제가 참이어도 역은 따로 판정한다
③ 음수를 넣어 역의 반례를 찾는다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
두 실수 $x$, $y$에 대하여 보기의 명제 중 역과 대우가 모두 참인 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. $x^2=1$이면 $|x|=1$
ㄴ. $xy=0$이면 $x=0$
ㄷ. $x>y$이면 $x^3>y^3$
ㄹ. $x^2+y^2=0$이면 $xy=0$
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대우는 원래 명제와 참·거짓이 같다 → 명제와 역을 판정
ㄱ. 명제 참, 역 '$|x|=1$이면 $x^2=1$' 참
ㄴ. 명제 [반례] $x=0$, $y=1$ → 거짓
ㄷ. $x^3-y^3$과 $x-y$의 부호가 같다 → 명제·역 참
ㄹ. 역 '$xy=0$이면 $x^2+y^2=0$' [반례] $x=1$, $y=0$
$\therefore$ ㄱ, ㄷ
사고 흐름
① 대우는 원래 명제로 판정한다
② 명제와 역을 각각 판정한다
③ 둘 다 참인 것만 고른다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 대우를 이용한 미지수 구하기
문제 · 기본
명제 '$x^2-ax+6\neq 0$이면 $x\neq 2$이다.'가 참이 되도록 하는 상수 $a$의 값을 구하시오.
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대우는 '$x=2$이면 $x^2-ax+6=0$'
대우가 참이면 원래 명제도 참
$x=2$를 대입하면 $4-2a+6=0$
$\therefore$ $a=5$
사고 흐름
① $\neq$가 있으면 대우로 바꾼다
② 대우는 '$x=2$이면 ~' 꼴 → 대입한다
③ 대우가 참이면 원래 명제도 참
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
두 실수 $a$, $b$에 대하여 명제 '$a+b>6$이면 $a>k$ 또는 $b>-2$이다.'가 참이 되도록 하는 실수 $k$의 최댓값을 구하시오.
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대우: '$a\le k$이고 $b\le -2$이면 $a+b\le 6$'
$a\le k$, $b\le -2$이면 $a+b\le k-2$
대우가 참이려면 $k-2\le 6$, 즉 $k\le 8$
$\therefore$ $8$
사고 흐름
① 결론에 '또는'이 있으면 대우로 바꾼다
② '또는'의 부정은 '그리고'
③ 대우의 결론이 늘 성립할 조건을 세운다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 3 삼단논법
문제 · 기본
세 조건 $p$, $q$, $r$에 대하여 두 명제 $p\rightarrow \sim q$, $r\rightarrow q$가 모두 참일 때, 보기에서 항상 참인 명제만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. $q\rightarrow \sim p$
ㄴ. $p\rightarrow \sim r$
ㄷ. $\sim r\rightarrow p$
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대우도 참: $q\rightarrow \sim p$, $\sim q\rightarrow \sim r$
$p\rightarrow \sim q$, $\sim q\rightarrow \sim r$에서 $p\rightarrow \sim r$
ㄷ은 사슬로 이어지지 않는다 → 알 수 없음
$\therefore$ ㄱ, ㄴ
사고 흐름
① 참인 명제의 대우를 모두 적는다
② 화살표를 이어 사슬을 만든다
③ 사슬에 없는 명제는 '알 수 없음'
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
네 조건 $p$, $q$, $r$, $s$에 대하여 두 명제 $p\rightarrow q$, $\sim s\rightarrow \sim r$가 참이다. 보기 중 하나만 추가해도 $p\rightarrow s$가 참이 되는 것만을 있는 대로 고르시오.
ㄱ. $q\rightarrow r$
ㄴ. $r\rightarrow q$
ㄷ. $\sim r\rightarrow \sim q$
ㄹ. $s\rightarrow p$
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$\sim s\rightarrow \sim r$의 대우는 $r\rightarrow s$
$p\rightarrow q$와 $r\rightarrow s$를 이으려면 $q\rightarrow r$가 필요
ㄷ은 $q\rightarrow r$의 대우이므로 같은 역할
$\therefore$ ㄱ, ㄷ
사고 흐름
① 주어진 명제를 대우까지 바꿔 둔다
② 사슬에서 비어 있는 고리를 찾는다
③ 빈 고리와 그 대우를 모두 고른다
DOYEONMATH · 김도연T