공통수학2 · 명제
08 산술평균과 기하평균
개념
관계 $a>0$, $b>0$이면 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$
등호 등호는 $a=b$일 때 성립
쓰임 합이 일정하면 곱의 최대, 곱이 일정하면 합의 최소
주의 양수인지, 등호가 실제로 성립하는지 확인
자주 나오는 유형
유형 1 합 또는 곱이 일정할 때
문제 · 기본
두 양수 $x$, $y$에 대하여 $x+2y=8$일 때, $xy$의 최댓값을 구하시오.
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$x+2y\ge 2\sqrt{2xy}$
$8\ge 2\sqrt{2xy}$에서 $2xy\le 16$, $xy\le 8$
등호는 $x=2y$, 즉 $x=4$, $y=2$일 때 성립
$\therefore$ $8$
사고 흐름
① 두 수가 양수인지 확인한다
② 일정한 합 $x+2y$에 맞춰 관계식을 쓴다
③ 등호 조건으로 그때의 값을 확인한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
$0$이 아닌 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a^2+4b^2=16$일 때, $ab$의 최댓값과 최솟값의 차를 구하시오.
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$a^2>0$, $4b^2>0$이므로 $a^2+4b^2\ge 2\sqrt{4a^2b^2}=4|ab|$
$16\ge 4|ab|$에서 $-4\le ab\le 4$
등호는 $a^2=4b^2=8$일 때 (부호에 따라 $\pm 4$)
$\therefore$ $4-(-4)=8$
사고 흐름
① 양수가 아니면 제곱끼리 적용한다
② $\sqrt{a^2b^2}=|ab|$로 절댓값이 생긴다
③ 최댓값과 최솟값을 부호로 나눈다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 식을 전개하거나 여러 번 쓸 때빈출
문제 · 기본
$x>0$, $y>0$일 때, $(x+2y)\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)$의 최솟값을 구하시오.
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전개하면 $2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{4y}{x}+2$
$\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}\ge 2\sqrt{4}=4$
등호는 $x^2=4y^2$, 즉 $x=2y$일 때 성립
$\therefore$ $4+4=8$
사고 흐름
① 먼저 전개해서 역수 쌍을 만든다
② 역수 쌍에만 산술·기하평균을 쓴다
③ 등호가 되는 $x$, $y$가 있는지 확인한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
$x>0$, $y>0$일 때 $(x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}\right)$의 최솟값을 다음과 같이 $12$라고 구했다. 잘못된 이유를 쓰고 올바른 최솟값을 구하시오.
$x+y\ge 2\sqrt{xy}$ ····· ①
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}\ge \dfrac{6}{\sqrt{xy}}$ ····· ②
①×②: $(x+y)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}\right)\ge 12$
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①의 등호는 $x=y$, ②의 등호는 $y=9x$일 때
두 등호가 동시에 성립하지 않아 $12$가 될 수 없다
전개: $10+\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}\ge 10+2\sqrt{9}=16$
등호는 $y=3x$일 때 성립 $\therefore$ $16$
사고 흐름
① 두 번 쓰면 등호 조건을 비교한다
② 동시에 성립하지 않으면 그 값은 최솟값이 아니다
③ 전개해서 한 번만 적용한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 3 식을 변형해서 쓸 때빈출
문제 · 기본
$x>2$일 때, $x+\dfrac{9}{x-2}$의 최솟값과 그때의 $x$의 값을 구하시오.
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$x+\frac{9}{x-2}=(x-2)+\frac{9}{x-2}+2$
$x-2>0$이므로 $\ge 2\sqrt{9}+2=8$
등호는 $(x-2)^2=9$, 즉 $x=5$일 때 성립
$\therefore$ 최솟값 $8$, $x=5$
사고 흐름
① 분모와 같은 식을 만들려고 더하고 뺀다
② 분모가 양수인지 확인하고 적용한다
③ 더하고 뺀 상수를 결과에 반영한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
$x>0$일 때, $\dfrac{x}{x^2+3x+4}$의 최댓값을 구하시오.
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분모, 분자를 $x$로 나누면 $\dfrac{1}{x+\frac{4}{x}+3}$
$x+\frac{4}{x}\ge 2\sqrt{4}=4$ → 분모 $\ge 7$
등호는 $x=2$일 때, 분모가 최소이면 분수는 최대
$\therefore$ $\frac{1}{7}$
사고 흐름
① 분자의 $x$로 나눠 역수 쌍을 만든다
② 분모의 최솟값을 구한다
③ 분모가 최소일 때 분수는 최대
DOYEONMATH · 김도연T
유형 4 도형·실생활에서의 활용
문제 · 기본
길이가 $24$ m인 철망을 모두 써서 한쪽이 벽인 직사각형 울타리를 만들려고 한다. 벽 쪽에는 철망을 쓰지 않을 때, 울타리 안쪽 넓이의 최댓값을 구하시오.
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벽과 수직인 변 $x$, 평행한 변 $y$라 하면 $2x+y=24$
$2x+y\ge 2\sqrt{2xy}$에서 $24\ge 2\sqrt{2xy}$
$xy\le 72$, 등호는 $2x=y=12$일 때 성립
$\therefore$ $72\,\mathrm{m}^2$
사고 흐름
① 변의 길이를 문자로 두고 조건식을 세운다
② 구하는 넓이를 곱 $xy$로 나타낸다
③ 등호 조건으로 길이를 정한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
점 $(2, 1)$을 지나는 직선 $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ ($a>0$, $b>0$)과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이의 최솟값을 구하시오.
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점을 대입하면 $\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=1$
$1\ge 2\sqrt{\frac{2}{ab}}$에서 $ab\ge 8$
넓이 $=\frac{1}{2}ab\ge 4$, 등호는 $a=4$, $b=2$일 때
$\therefore$ $4$
사고 흐름
① 지나는 점을 대입해 조건식을 만든다
② 합이 일정하므로 곱 $ab$의 범위를 구한다
③ 넓이는 $ab$가 아니라 $\frac{1}{2}ab$
DOYEONMATH · 김도연T