공통수학2 · 유리함수와 무리함수

05 무리함수의 그래프

개념

표준형 $y=\sqrt{a(x-p)}+q$, 시작점 $(p, q)$

방향 $a$의 부호는 좌우, 근호 앞 부호는 위아래

정의역·치역 $y=\sqrt{ax+b}+c$ ($a>0$): $x\ge -\dfrac{b}{a}$, $y\ge c$

대칭이동 $x$축: $y\to -y$, $y$축: $x\to -x$

자주 나오는 유형

유형 1무리함수의 그래프
유형 2무리함수의 정의역과 치역
유형 3무리함수의 그래프의 평행이동
유형 4무리함수의 그래프의 대칭이동
유형 5무리함수의 그래프가 지나는 사분면
유형 6그래프로 무리함수의 식 구하기
유형 7무리함수의 최대·최소
유형 8무리함수의 그래프의 성질

유형 1 무리함수의 그래프

문제 · 기본

함수 $f(x)=\sqrt{ax}$의 그래프가 점 $(3, 3)$을 지날 때, $f(12)$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수)

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$(3, 3)$을 대입: $\sqrt{3a}=3$

$3a=9$, $a=3$

$\therefore$ $f(12)=\sqrt{36}=$ $6$

사고 흐름

① 지나는 점을 대입한다

② 양변을 제곱해 $a$를 구한다

③ 구한 식에 값을 넣는다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $y=\sqrt{ax}$ ($a\neq 0$)에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. $a<0$이면 정의역은 $\{x\mid x\le 0\}$이다.

ㄴ. 치역은 $\{y\mid y\ge 0\}$이다.

ㄷ. $|a|$가 클수록 그래프는 $y$축에서 멀어진다.

ㄹ. $y=-\sqrt{-ax}$의 그래프와 원점에 대하여 대칭이다.

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ㄱ. $ax\ge 0$, $a<0$이면 $x\le 0$ → 참, ㄴ. 참

ㄷ. $|a|$가 클수록 $x$축에서 멀어진다 → 거짓

ㄹ. $x\to -x$, $y\to -y$: $-y=\sqrt{-ax}$ → 참

$\therefore$ ㄱ, ㄴ, ㄹ

사고 흐름

① 근호 안 $\ge 0$으로 정의역을 정한다

② 같은 $x$에서 $y$가 커지면 $x$축에서 멀어진다

③ 대칭이동은 $x$, $y$의 부호를 바꿔 확인한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 무리함수의 정의역과 치역

문제 · 기본

함수 $y=\sqrt{2x+4}+1$의 정의역이 $\{x\mid x\ge a\}$, 치역이 $\{y\mid y\ge b\}$일 때, $a+b$의 값을 구하시오.

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$2x+4\ge 0$에서 $x\ge -2$

$\sqrt{2x+4}\ge 0$이므로 $y\ge 1$

$\therefore$ $a+b=$ $-1$

사고 흐름

① 근호 안 $\ge 0$으로 정의역

② 근호 $\ge 0$에 상수를 더해 치역

③ 근호 앞에 $-$가 있으면 부등호가 바뀐다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=-\sqrt{4x-a}+b$에 대하여 $f(2)=1$이고 치역이 $\{y\mid y\le 3\}$일 때, 함수 $f(x)$의 정의역을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수)

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$-\sqrt{\ }\le 0$이므로 치역 $y\le b$ → $b=3$

$f(2)=-\sqrt{8-a}+3=1$에서 $a=4$

$4x-4\ge 0$

$\therefore$ $\{x\mid x\ge 1\}$

사고 흐름

① 근호 앞 부호로 치역의 방향을 정한다

② 치역의 끝값으로 상수를 구한다

③ 함숫값으로 나머지 상수를 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 무리함수의 그래프의 평행이동

문제 · 기본

함수 $y=\sqrt{2x-6}+1$의 그래프는 $y=\sqrt{ax}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 것이다. $a+p+q$의 값을 구하시오.

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$\sqrt{2x-6}=\sqrt{2(x-3)}$

$y=\sqrt{2x}$를 $x$축 방향 $3$, $y$축 방향 $1$

$\therefore$ $a+p+q=$ $6$

사고 흐름

① 근호 안을 $a(x-p)$ 꼴로 묶는다

② $p$는 $-6$이 아니라 $3$

③ 근호 밖 상수가 $q$

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $y=\sqrt{ax+b}+c$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-1$만큼, $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동하면 $y=\sqrt{4x+12}-1$의 그래프와 겹친다. 상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하시오.

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반대로 $x$축 방향 $1$, $y$축 방향 $-2$만큼 옮긴다

$y=\sqrt{4(x-1)+12}-1-2$

$=\sqrt{4x+8}-3$

$\therefore$ $a+b+c=$ $9$

사고 흐름

① 옮긴 결과에서 원래 식을 구한다

② $x$ 대신 $x-m$, $y$ 대신 $y-n$

③ 근호 안을 정리해 계수를 읽는다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 4 무리함수의 그래프의 대칭이동

문제 · 기본

함수 $y=\sqrt{2x+4}$의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동한 그래프가 점 $(a, -2)$를 지날 때, $a$의 값을 구하시오.

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원점 대칭: $x\to -x$, $y\to -y$

$-y=\sqrt{-2x+4}$, 즉 $y=-\sqrt{-2x+4}$

$(a, -2)$: $\sqrt{-2a+4}=2$

$\therefore$ $a=0$

사고 흐름

① 대칭의 종류에 따라 바꿀 문자를 정한다

② 바꾼 뒤 $y$에 대해 정리한다

③ 지나는 점을 대입한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $y=\sqrt{ax}$의 그래프를 $y$축에 대하여 대칭이동한 다음 $x$축의 방향으로 $2$만큼, $y$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 그래프가 두 점 $(1, 1)$, $(-2, b)$를 지날 때, $a+b$의 값을 구하시오.

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$y$축 대칭: $y=\sqrt{-ax}$

평행이동: $y=\sqrt{-a(x-2)}-1$

$(1, 1)$: $\sqrt{a}-1=1$에서 $a=4$

$b=\sqrt{-4(-2-2)}-1=3$ $\therefore$ $7$

사고 흐름

① 대칭이동을 먼저, 평행이동을 나중에

② 순서를 바꾸면 다른 식이 된다

③ 지나는 점 두 개를 차례로 대입한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 5 무리함수의 그래프가 지나는 사분면

문제 · 기본

함수 $y=-\sqrt{x+4}+1$의 그래프가 지나는 사분면을 모두 구하시오.

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시작점 $(-4, 1)$, 오른쪽 아래로 그려진다

$x$절편 $-3$, $y$절편 $-1$

$\therefore$ 제2, 3, 4사분면

$x$

$y$

$O$

$-4$

$-3$

$1$

$-1$

사고 흐름

① 시작점과 뻗는 방향을 정한다

② 축과 만나는 점을 구한다

③ 그래프를 그려 사분면을 센다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $y=-\sqrt{3x+9}+k$의 그래프가 제3사분면을 지나도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하시오.

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시작점 $(-3, k)$에서 오른쪽 아래로

$x<0$에서 $y<0$인 부분이 있으려면 $y$절편 $<0$

$-\sqrt{9}+k<0$

$\therefore$ $k<3$

사고 흐름

① 시작점이 $k$에 따라 위아래로 움직인다

② 제3사분면은 $x<0$, $y<0$

③ $y$절편의 부호로 경계를 정한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 6 그래프로 무리함수의 식 구하기

문제 · 기본

함수 $y=\sqrt{ax+b}+c$의 그래프가 그림과 같을 때, 상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하시오.

$x$

$y$

$O$

$-2$

$2$

$5$

$1$

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시작점 $(-2, 1)$ → $y=\sqrt{a(x+2)}+1$

$(2, 5)$ 대입: $\sqrt{4a}=4$, $a=4$

$y=\sqrt{4x+8}+1$

$\therefore$ $a+b+c=$ $13$

사고 흐름

① 그래프의 시작점을 읽는다

② $y=\sqrt{a(x-p)}+q$로 놓는다

③ 지나는 점을 대입해 $a$를 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $y=-\sqrt{ax+b}+c$의 정의역이 $\{x\mid x\le 4\}$, 치역이 $\{y\mid y\le 2\}$이고 그래프가 점 $(0, -2)$를 지날 때, $a+b+c$의 값을 구하시오.

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$y=-\sqrt{a(x-4)}+2$ ($a<0$)

$(0, -2)$: $\sqrt{-4a}=4$, $a=-4$

$y=-\sqrt{-4x+16}+2$

$\therefore$ $a+b+c=$ $14$

사고 흐름

① 정의역의 끝·치역의 끝이 시작점

② 정의역이 $x\le$ 꼴이면 $a<0$

③ 지나는 점으로 $a$를 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 7 무리함수의 최대·최소

문제 · 기본

$-1\le x\le 3$에서 함수 $y=\sqrt{2x+3}+1$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

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$y=\sqrt{2x+3}+1$은 증가함수

최솟값 $f(-1)=2$, 최댓값 $f(3)=4$

$\therefore$ $6$

사고 흐름

① 증가인지 감소인지 먼저 본다

② 증가면 왼쪽 끝이 최소, 오른쪽 끝이 최대

③ 양 끝값을 대입한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

$-5\le x\le 3$에서 함수 $y=\sqrt{a-x}+2$의 최솟값이 $3$일 때, 최댓값을 구하시오. (단, $a$는 상수)

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$x$가 커지면 $\sqrt{a-x}$는 작아진다 → 감소

최솟값 $f(3)=\sqrt{a-3}+2=3$에서 $a=4$

최댓값 $f(-5)=\sqrt{9}+2$

$\therefore$ $5$

사고 흐름

① 근호 안 $x$의 계수가 음수면 감소

② 감소면 오른쪽 끝에서 최소

③ 구한 $a$로 반대쪽 끝값을 계산한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 8 무리함수의 그래프의 성질

문제 · 기본

함수 $y=\sqrt{9-3x}-2$에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. 정의역은 $\{x\mid x\le 3\}$이다.

ㄴ. 치역은 $\{y\mid y\ge -2\}$이다.

ㄷ. $y=\sqrt{-3x}$의 그래프를 평행이동한 것이다.

ㄹ. 제3사분면을 지난다.

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$y=\sqrt{-3(x-3)}-2$: 시작점 $(3, -2)$, 왼쪽 위로

ㄱ, ㄴ, ㄷ 참

ㄹ. $x<0$이면 $y>\sqrt{9}-2=1$ → 거짓

$\therefore$ ㄱ, ㄴ, ㄷ

사고 흐름

① 표준형으로 시작점과 방향을 정한다

② 정의역·치역은 시작점에서 읽는다

③ 사분면은 $x<0$일 때 $y$의 부호로 본다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=a\sqrt{x+b}+c$의 그래프가 점 $(-2, 3)$에서 시작하고 점 $(-1, 1)$을 지날 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. 치역은 $\{y\mid y\le 3\}$이다.

ㄴ. $f(7)=-3$

ㄷ. $y=-2\sqrt{x}$의 그래프를 평행이동한 것이다.

ㄹ. 제1사분면을 지나지 않는다.

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시작점에서 $b=2$, $c=3$, $(-1, 1)$에서 $a=-2$

ㄱ, ㄷ 참, ㄴ. $f(7)=-2\times 3+3=-3$ → 참

ㄹ. $f(0)=3-2\sqrt{2}>0$ → 제1사분면을 지난다, 거짓

$\therefore$ ㄱ, ㄴ, ㄷ

사고 흐름

① 시작점과 지나는 점으로 식을 완성한다

② 보기마다 식에 대입해 확인한다

③ $y$절편의 부호를 근삿값으로 판단한다

DOYEONMATH · 김도연T