미적분1 · 미분

01 평균변화율과 미분계수

개념

평균변화율 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ (두 점을 잇는 직선의 기울기)

미분계수 $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

기하적 의미 $f'(a)$ = 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 기울기

극한값 계산 분모와 증분을 맞춰 $f'(a)$의 꼴로 바꾼다

자주 나오는 유형

유형 1평균변화율
유형 2미분계수의 뜻
유형 3미분계수의 기하적 의미
유형 4미분계수와 극한값 — $\lim_{h\to0}$ 꼴
유형 5미분계수와 극한값 — $\lim_{x\to a}$ 꼴
유형 6미분계수를 이용한 미정계수의 결정

유형 1 평균변화율빈출

문제 · 기본

함수 $f(x)=x^2-3x+2$에서 $x$의 값이 $1$에서 $4$까지 변할 때의 평균변화율을 구하시오.

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평균변화율 $=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}$

$f(4)=6$, $f(1)=0$

$\therefore$ $\dfrac{6-0}{3}=$ $2$

사고 흐름

① 평균변화율은 $y$의 증분 $\div$ $x$의 증분

② 양 끝의 함숫값을 구한다

③ 구간의 길이로 나눈다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=x^3-2x$에서 $x$의 값이 $0$에서 $a$까지 변할 때의 평균변화율이 $x=1$에서의 미분계수와 같을 때, 양수 $a$의 값을 구하시오.

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평균변화율 $=\dfrac{f(a)-f(0)}{a}=\dfrac{a^3-2a}{a}=a^2-2$

$f'(x)=3x^2-2$이므로 $f'(1)=1$

$a^2-2=1$에서 $a^2=3$

$a>0$이므로 $a=$ $\sqrt{3}$

사고 흐름

① 평균변화율을 $a$의 식으로 나타낸다

② 미분계수를 구해 같다고 놓는다

③ 조건($a>0$)에 맞는 근을 고른다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 미분계수의 뜻

문제 · 기본

함수 $f(x)=2x^2-x$에 대하여 미분계수의 정의를 이용하여 $f'(1)$의 값을 구하시오.

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$f'(1)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$

$f(1+h)-f(1)=2(1+h)^2-(1+h)-1=3h+2h^2$

$\lim_{h\to0}(3+2h)=$ $3$

사고 흐름

① 정의식에 $f(1+h)$와 $f(1)$을 넣는다

② 분자를 전개해 $h$로 약분한다

③ $h\to0$의 극한을 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=x^3+ax^2+b$에 대하여 $f(1)=2$, $\lim_{h\to0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=5$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수)

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극한값은 미분계수 $f'(1)$

$f'(x)=3x^2+2ax$이므로 $f'(1)=3+2a=5$, $a=1$

$f(1)=1+1+b=2$에서 $b=0$

$\therefore$ $f(2)=8+4=$ $12$

사고 흐름

① 주어진 극한이 어느 점의 미분계수인지 읽는다

② 미분계수와 함숫값 조건을 각각 식으로 쓴다

③ 연립해 계수를 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 미분계수의 기하적 의미

문제 · 기본

곡선 $y=x^2-4x$ 위의 점 $(3, -3)$에서의 접선의 기울기를 구하시오.

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접선의 기울기 $=f'(3)$

$f'(x)=2x-4$

$\therefore$ $f'(3)=$ $2$

사고 흐름

① 접선의 기울기는 접점의 $x$좌표에서의 미분계수

② 도함수를 구한다

③ $x=3$을 대입한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=x^2$과 $0<a<b$인 두 실수 $a$, $b$에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고르시오.

ㄱ. $\frac{f(b)}{b}>\frac{f(a)}{a}$

ㄴ. $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}>f'(a)$

ㄷ. $f'(a)+f'(b)>2\times\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

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ㄱ. $\dfrac{f(x)}{x}=x$이므로 $b>a$ (참)

ㄴ. (좌변) $=a+b$, $f'(a)=2a$, $a+b>2a$ (참)

ㄷ. $2a+2b=2(a+b)$이므로 같다 (거짓)

$\therefore$ ㄱ, ㄴ

사고 흐름

① $\frac{f(x)}{x}$는 원점과 점을 잇는 직선의 기울기

② 평균변화율은 두 점을 잇는 직선, $f'(a)$는 접선의 기울기

③ 식으로 직접 계산해 대소를 확인한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 4 미분계수와 극한값 — $\lim_{h\to0}$ 꼴빈출

문제 · 기본

미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(2)=3$일 때, $\lim_{h\to0}\dfrac{f(2+3h)-f(2)}{h}$의 값을 구하시오.

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분모를 $3h$로 맞춘다: $\lim_{h\to0}\dfrac{f(2+3h)-f(2)}{3h}\times3$

$=3f'(2)$

$=3\times3=$ $9$

사고 흐름

① $f$ 안의 증분($3h$)과 분모를 같게 만든다

② 맞춘 만큼 밖에 곱한다

③ 미분계수 값을 대입한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=x^3-x^2+2x$에 대하여 $\lim_{h\to0}\dfrac{f(1+3h)-f(1-2h)}{h}$의 값을 구하시오.

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$f(1)$을 빼고 더해 둘로 나눈다

$\dfrac{f(1+3h)-f(1)}{3h}\times3+\dfrac{f(1-2h)-f(1)}{-2h}\times2$

$\to 3f'(1)+2f'(1)=5f'(1)$, $f'(1)=3-2+2=3$

$\therefore$ $15$

사고 흐름

① 분자에 $f(1)$을 빼고 더한다

② 각 부분의 증분에 맞춰 분모를 바꾼다

③ 계수의 합에 $f'(1)$을 곱한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 5 미분계수와 극한값 — $\lim_{x\to a}$ 꼴

문제 · 기본

미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f(2)=1$, $f'(2)=3$일 때, $\lim_{x\to2}\dfrac{f(x)-1}{x^2-4}$의 값을 구하시오.

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$x^2-4=(x-2)(x+2)$

$\lim_{x\to2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}\times\dfrac{1}{x+2}$

$=f'(2)\times\dfrac{1}{4}=$ $\dfrac{3}{4}$

사고 흐름

① 분자의 상수가 $f(2)$인지 확인한다

② 분모를 인수분해해 $x-2$를 떼어 낸다

③ 남은 인수의 극한값을 곱한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f(1)=2$, $f'(1)=3$일 때, $\lim_{x\to1}\dfrac{xf(x)-f(1)}{x-1}$의 값을 구하시오.

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분자에 $xf(1)$을 빼고 더한다

$\dfrac{x\{f(x)-f(1)\}}{x-1}+\dfrac{(x-1)f(1)}{x-1}$

$\to 1\times f'(1)+f(1)=3+2$

$\therefore$ $5$

사고 흐름

① $f(x)-f(1)$ 꼴이 보이도록 항을 빼고 더한다

② 미분계수 꼴과 나머지 부분으로 나눈다

③ 각각 극한을 구해 더한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 6 미분계수를 이용한 미정계수의 결정

문제 · 기본

$\lim_{x\to2}\dfrac{x^2+ax+b}{x-2}=5$일 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하시오.

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분모 $\to0$이므로 분자 $\to0$: $4+2a+b=0$

$f(x)=x^2+ax+b$라 하면 극한값은 $f'(2)=4+a=5$

$a=1$, $b=-6$

$\therefore$ $a-b=$ $7$

사고 흐름

① 극한값이 있고 분모가 $0$으로 가면 분자도 $0$

② 분자를 $f(x)$로 보고 극한값을 $f'(2)$로 읽는다

③ 두 식을 연립한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

함수 $f(x)=x^3+ax^2+bx$에 대하여 $\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)-2}{x-1}=3$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수)

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$f(1)=2$, $f'(1)=3$

$1+a+b=2$, $3+2a+b=3$

빼면 $2+a=1$, $a=-1$, $b=2$

$\therefore$ $f(2)=8-4+4=$ $8$

사고 흐름

① 분자 $\to0$에서 함숫값 조건을 얻는다

② 극한값은 미분계수 조건이다

③ 두 조건으로 계수를 정한다

DOYEONMATH · 김도연T