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미적분1 · 미분

03 도함수와 미분법

개념
도함수 $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
미분법 $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(c)'=0$, 실수배·합·차는 항별로
곱의 미분법 $\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
나눗셈 $(x-a)^2$으로 나누어떨어지면 $f(a)=0$, $f'(a)=0$
자주 나오는 유형

유형 1 도함수의 정의빈출

문제 · 기본
함수 $f(x)=x^2-3x$에 대하여 도함수의 정의를 이용하여 $f'(x)$를 구하고, $f'(4)$의 값을 구하시오.
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$f(x+h)-f(x)=2xh+h^2-3h$
$f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h-3)=2x-3$
$\therefore$ $f'(4)=$ $5$
사고 흐름
① 정의식에 $f(x+h)$를 넣고 전개한다
② 분자를 $h$로 약분한다
③ $h\to0$일 때의 식이 도함수다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
자연수 $n$에 대하여 $\lim_{h\to0}\dfrac{(1+h)^n-1}{h}=10$일 때, $n$의 값을 구하시오.
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$f(x)=x^n$이라 하면 $f(1)=1$
(좌변) $=\lim_{h\to0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=f'(1)$
$f'(x)=nx^{n-1}$이므로 $f'(1)=n$
$\therefore$ $n=$ $10$
사고 흐름
① 극한식을 어떤 함수의 미분계수로 볼지 정한다
② $(1+h)^n$은 $f(x)=x^n$의 $f(1+h)$
③ 미분법으로 $f'(1)$을 계산한다
DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 관계식이 주어질 때 도함수 구하기빈출

문제 · 기본
미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 $f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy$를 만족시키고 $f'(0)=2$일 때, $f'(2)$의 값을 구하시오.
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$x=y=0$ 대입: $f(0)=0$
$f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h)+3xh}{h}=f'(0)+3x$
$f'(x)=3x+2$
$\therefore$ $f'(2)=$ $8$
사고 흐름
① $x=y=0$을 넣어 $f(0)$을 구한다
② 도함수의 정의에 $f(x+h)$를 관계식으로 바꿔 넣는다
③ $\frac{f(h)-f(0)}{h}\to f'(0)$을 쓴다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1$을 만족시키고 $f'(1)=5$일 때, $f'(3)$의 값을 구하시오.
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$x=y=0$ 대입: $f(0)=1$
$f'(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h)-1+2xh}{h}=f'(0)+2x$
$f'(1)=f'(0)+2=5$에서 $f'(0)=3$
$f'(x)=2x+3$ $\therefore$ $f'(3)=$ $9$
사고 흐름
① $f(0)$이 $0$이 아닐 수 있으니 먼저 구한다
② $f(h)-1=f(h)-f(0)$으로 보고 $f'(0)$을 만든다
③ 주어진 $f'(1)$로 $f'(0)$을 거꾸로 구한다
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유형 3 다항함수의 미분법빈출

문제 · 기본
함수 $f(x)=2x^3-5x^2+3x-1$에 대하여 $f'(2)$의 값을 구하시오.
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항별로 $(x^n)'=nx^{n-1}$
$f'(x)=6x^2-10x+3$
$\therefore$ $f'(2)=24-20+3=$ $7$
사고 흐름
① 항마다 거듭제곱의 미분법을 쓴다
② 상수항은 미분하면 $0$
③ 구한 도함수에 대입한다
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문제 · 심화
함수 $f(x)=x^4+ax^2+b$가 $\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)-3}{x-1}=6$을 만족시킬 때, $f'(2)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수)
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$f(1)=3$, $f'(1)=6$
$f'(x)=4x^3+2ax$, $f'(1)=4+2a=6$ → $a=1$
$f(1)=1+1+b=3$ → $b=1$
$f'(x)=4x^3+2x$ $\therefore$ $f'(2)=$ $36$
사고 흐름
① 극한 조건을 함숫값과 미분계수로 바꾼다
② 도함수를 구해 계수를 정한다
③ 완성된 도함수에 대입한다
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유형 4 곱의 미분법빈출

문제 · 기본
함수 $y=(2x-1)(x^2+3)$에 대하여 $x=1$에서의 미분계수를 구하시오.
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$y'=2(x^2+3)+(2x-1)\times2x$
$x=1$: $2\times4+1\times2$
$=$ $10$
사고 흐름
① 두 인수로 보고 곱의 미분법을 쓴다
② 전개하지 않아도 된다
③ $x=1$을 대입한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=(x+1)(x^2+ax-1)$에서 $f(1)=4$일 때, $f'(2)$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수)
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$f(1)=2\times a=4$에서 $a=2$
$f'(x)=(x^2+2x-1)+(x+1)(2x+2)$
$f'(2)=7+3\times6$
$=$ $25$
사고 흐름
① 함숫값 조건으로 계수를 먼저 구한다
② 곱의 미분법으로 도함수를 쓴다
③ 필요한 점에서만 값을 계산한다
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유형 5 치환을 이용한 극한값의 계산

문제 · 기본
$\lim_{x\to1}\dfrac{x^5-1}{x-1}$의 값을 구하시오.
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$f(x)=x^5$이라 하면 $f(1)=1$
(식) $=\lim_{x\to1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)$
$f'(x)=5x^4$ $\therefore$ $5$
사고 흐름
① 분자를 $f(x)-f(1)$ 꼴로 본다
② 미분계수의 정의 꼴임을 확인한다
③ 미분법으로 계산한다
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문제 · 심화
자연수 $n$에 대하여 $\lim_{x\to1}\dfrac{x^n+x-2}{x-1}=9$일 때, $n$의 값을 구하시오.
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$f(x)=x^n+x$라 하면 $f(1)=2$
(좌변) $=f'(1)$
$f'(x)=nx^{n-1}+1$이므로 $f'(1)=n+1=9$
$\therefore$ $n=$ $8$
사고 흐름
① 분자의 상수를 함숫값 $f(1)$로 맞춰 함수를 정한다
② 극한값은 그 함수의 $f'(1)$
③ $n$에 대한 방정식을 푼다
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유형 6 항등식과 미분

문제 · 기본
이차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)+f'(x)=x^2+5x+4$를 만족시킬 때, $f(2)$의 값을 구하시오.
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$f(x)=ax^2+bx+c$, $f'(x)=2ax+b$
$ax^2+(2a+b)x+(b+c)=x^2+5x+4$
$a=1$, $b=3$, $c=1$
$\therefore$ $f(2)=4+6+1=$ $11$
사고 흐름
① 차수에 맞게 $f(x)$를 문자로 놓는다
② 좌변을 정리해 계수를 비교한다
③ 구한 식에 대입한다
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문제 · 심화
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\{f'(x)\}^2=4f(x)+8$을 만족시키고 $f(0)=-1$, $f'(0)>0$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오.
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차수 $n$: $2(n-1)=n$에서 $n=2$, $f(x)=ax^2+bx+c$
$4a^2x^2+4abx+b^2=4ax^2+4bx+4c+8$
$a=1$, $c=-1$, $b^2=4$, $f'(0)=b>0$이므로 $b=2$
$f(x)=x^2+2x-1$ $\therefore$ $f(2)=$ $7$
사고 흐름
① 양변의 최고차항 차수를 비교해 $f$의 차수를 정한다
② 문자로 놓고 계수를 비교한다
③ 부호 조건으로 근을 고른다
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유형 7 다항식의 나눗셈과 미분법빈출

문제 · 기본
다항식 $x^5+ax+b$가 $(x-1)^2$으로 나누어떨어질 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.
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$x^5+ax+b=(x-1)^2Q(x)$, $f(x)=x^5+ax+b$
$f(1)=0$, $f'(1)=0$
$1+a+b=0$, $5+a=0$ → $a=-5$, $b=4$
$\therefore$ $ab=$ $-20$
사고 흐름
① 몫을 $Q(x)$로 놓고 항등식을 세운다
② 양변을 미분해도 $(x-1)$이 인수로 남는다
③ $x=1$을 대입한 두 식을 연립한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
다항식 $x^6$을 $(x-1)^2$으로 나누었을 때의 나머지를 $R(x)$라 할 때, $R(2)$의 값을 구하시오.
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$x^6=(x-1)^2Q(x)+px+q$
$x=1$ 대입: $1=p+q$
양변 미분 후 $x=1$ 대입: $6=p$
$q=-5$, $R(x)=6x-5$ $\therefore$ $R(2)=$ $7$
사고 흐름
① 나머지를 일차식 $px+q$로 놓는다
② $x=1$ 대입과 미분 후 대입으로 식 두 개를 얻는다
③ 연립해 나머지를 구한다
DOYEONMATH · 김도연T