미적분1 · 적분
01 부정적분의 뜻과 계산
개념
부정적분 $F'(x)=f(x)$이면 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$
미분과의 관계 $\frac{d}{dx}\int f(x)\,dx=f(x)$, $\int f'(x)\,dx=f(x)+C$
$x^n$의 부정적분 $\int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$
함수 구하기 $f(x)=\int f'(x)\,dx$, 함숫값으로 $C$ 결정
자주 나오는 유형
유형 1 부정적분의 정의빈출
문제 · 기본
함수 $f(x)$에 대하여 $\int f(x)\,dx=2x^3-5x^2+3x+C$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오. (단, $C$는 적분상수)
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우변을 미분하면 $f(x)$
$f(x)=(2x^3-5x^2+3x+C)'=6x^2-10x+3$
$\therefore$ $f(2)=24-20+3=$ $7$
사고 흐름
① $\int f(x)\,dx=F(x)+C$이면 $F'(x)=f(x)$
② 우변을 미분해 $f(x)$를 구한다
③ $x=2$를 대입한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
다항함수 $f(x)$의 한 부정적분 $F(x)=x^3+ax^2+bx$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)}{x-1}=4$일 때, $F(2)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수)
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$f(x)=F'(x)=3x^2+2ax+b$
분모 $\to 0$이므로 $f(1)=0$, 극한값은 $f'(1)$
$3+2a+b=0$, $f'(1)=6+2a=4$ → $a=-1$, $b=-1$
$F(2)=8-4-2=$ $2$
사고 흐름
① 부정적분을 미분해 $f(x)$를 문자로 나타낸다
② 분모가 $0$으로 가면 분자도 $0$으로 간다
③ $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$은 미분계수 $f'(1)$이다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 부정적분과 미분의 관계
문제 · 기본
함수 $f(x)=\int\left\{\dfrac{d}{dx}(x^3-2x)\right\}dx$에 대하여 $f(0)=5$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오.
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미분한 뒤 적분하면 적분상수가 붙는다
$f(x)=x^3-2x+C$
$f(0)=C=5$이므로 $f(x)=x^3-2x+5$
$\therefore$ $f(2)=8-4+5=$ $9$
사고 흐름
① 미분 후 적분이면 원래 함수 $+C$
② 주어진 함숫값으로 $C$를 정한다
③ 구한 식에 대입한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
두 함수 $F(x)=\dfrac{d}{dx}\int(x^2+ax)\,dx$, $G(x)=\int\left\{\dfrac{d}{dx}(x^2+ax)\right\}dx$에 대하여 $F(2)=6$, $G(0)=-1$일 때, $G(3)$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수)
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$F(x)=x^2+ax$ (상수 없음), $G(x)=x^2+ax+C$
$F(2)=4+2a=6$에서 $a=1$
$G(0)=C=-1$이므로 $G(x)=x^2+x-1$
$\therefore$ $G(3)=9+3-1=$ $11$
사고 흐름
① 적분 후 미분은 그대로, 미분 후 적분은 $+C$
② 적분상수가 없는 쪽에서 $a$를 구한다
③ 다른 조건으로 $C$를 구한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 3 부정적분의 계산
문제 · 기본
함수 $f(x)=\int(3x-1)(x+2)\,dx$에 대하여 $f(0)=2$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오.
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전개한 뒤 항별로 적분: $(3x-1)(x+2)=3x^2+5x-2$
$f(x)=x^3+\dfrac{5}{2}x^2-2x+C$
$f(0)=C=2$
$\therefore$ $f(2)=8+10-4+2=$ $16$
사고 흐름
① 곱의 꼴은 먼저 전개한다
② $x^n$의 부정적분 공식을 항마다 쓴다
③ 적분상수를 함숫값으로 정한다
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문제 · 심화
함수 $f(x)=\int\dfrac{x^3}{x+2}\,dx+\int\dfrac{8}{x+2}\,dx$에 대하여 $f(0)=0$일 때, $f(3)$의 값을 구하시오. (단, $x>-2$)
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피적분함수를 하나로 합쳐 약분
$\dfrac{x^3+8}{x+2}=\dfrac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x+2}=x^2-2x+4$
$f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-x^2+4x+C$, $f(0)=C=0$
$\therefore$ $f(3)=9-9+12=$ $12$
사고 흐름
① 분모가 같은 두 적분은 하나로 합친다
② 분자를 인수분해해 분모와 약분한다
③ 다항식이 되면 공식대로 적분한다
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유형 4 도함수가 주어질 때 함수 구하기빈출
문제 · 기본
함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x)=6x^2-4x+1$, $f(1)=3$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오.
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$f(x)=\int f'(x)\,dx$$=2x^3-2x^2+x+C$
$f(1)=2-2+1+C=3$에서 $C=2$
$\therefore$ $f(2)=16-8+2+2=$ $12$
사고 흐름
① 도함수를 적분해 $f(x)$를 $C$를 포함한 식으로 쓴다
② 주어진 함숫값으로 $C$를 구한다
③ 구한 식에 대입한다
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문제 · 심화
곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(x, f(x))$에서의 접선의 기울기가 $3x^2-4x+a$이고, 곡선은 점 $(1, 2)$를 지난다. 곡선 위의 $x=2$인 점에서의 접선이 원점을 지날 때, $f(0)$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수)
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$f(x)=x^3-2x^2+ax+C$, $f(1)=2$에서 $C=3-a$
$f(2)=a+3$, $f'(2)=a+4$
원점을 지나므로 $f(2)=2f'(2)$: $a+3=2a+8$, $a=-5$
$\therefore$ $f(0)=C=3-a=$ $8$
사고 흐름
① 접선의 기울기는 $f'(x)$이므로 적분해 $f(x)$를 구한다
② 지나는 점으로 $C$를 $a$로 나타낸다
③ 원점을 지나는 접선은 $f(2)=2f'(2)$를 만족한다
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유형 5 두 함수의 합·곱의 도함수로 함수 구하기
문제 · 기본
두 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여 $\dfrac{d}{dx}\{f(x)+g(x)\}=4x+1$, $\dfrac{d}{dx}\{f(x)-g(x)\}=2x-3$이고 $f(0)=1$, $g(0)=2$일 때, $f(2)+g(2)$의 값을 구하시오.
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두 식을 더하고 빼면 $f'(x)=3x-1$, $g'(x)=x+2$
$f(x)=\dfrac{3}{2}x^2-x+1$, $g(x)=\dfrac{1}{2}x^2+2x+2$
$f(2)+g(2)=5+8=$ $13$
사고 흐름
① 합과 차의 도함수를 연립해 $f'$, $g'$을 구한다
② 각각 적분하고 $f(0)$, $g(0)$으로 $C$를 정한다
③ $x=2$를 대입한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
두 다항함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여 $\dfrac{d}{dx}\{f(x)+g(x)\}=2x-2$, $\dfrac{d}{dx}\{f(x)g(x)\}=3x^2-4x-5$이고 $f(0)=1$, $g(0)=-2$일 때, $f(3)+g(4)$의 값을 구하시오.
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$f(x)+g(x)=x^2-2x-1$ ($x=0$ 대입: $1-2=-1$)
$f(x)g(x)=x^3-2x^2-5x-2$ ($x=0$ 대입: $-2$)
$f(x)g(x)=(x+1)(x^2-3x-2)$로 인수분해
합이 맞고 $f(0)=1$이므로 $f(x)=x+1$, $g(x)=x^2-3x-2$
$f(3)+g(4)=4+2=$ $6$
사고 흐름
① 합·곱을 각각 적분하고 $x=0$을 대입해 상수를 정한다
② 곱을 인수분해해 두 다항식으로 나눈다
③ 합과 $f(0)$, $g(0)$에 맞는 짝을 고른다
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