미적분1 · 적분

02 부정적분의 활용

개념

관계식 $F(x)$가 든 등식은 양변을 $x$에 대하여 미분

연속 구간마다 적분하고 경계에서 함숫값을 이어 $C$ 결정

극값 $f'(a)=0$이고 부호가 바뀌는 $x=a$에서 극값

도함수의 정의 $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

자주 나오는 유형

유형 1함수와 그 부정적분 사이의 관계식
유형 2부정적분과 함수의 연속
유형 3부정적분과 미분계수를 이용한 극한값
유형 4부정적분과 극대·극소
유형 5도함수의 정의를 이용하여 함수 구하기

유형 1 함수와 그 부정적분 사이의 관계식

문제 · 기본

다항함수 $f(x)$의 한 부정적분 $F(x)$에 대하여 $F(x)=xf(x)-2x^3+3x^2$이고 $f(1)=2$일 때, $f(3)$의 값을 구하시오.

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양변을 $x$에 대하여 미분: $f(x)=f(x)+xf'(x)-6x^2+6x$

$xf'(x)=6x^2-6x$이므로 $f'(x)=6x-6$

$f(x)=3x^2-6x+C$, $f(1)=-3+C=2$에서 $C=5$

$\therefore$ $f(3)=27-18+5=$ $14$

사고 흐름

① $F'(x)=f(x)$이므로 양변을 미분한다

② $xf(x)$는 곱의 미분법으로 미분한다

③ $f'(x)$를 적분하고 $f(1)$로 $C$를 정한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

다항함수 $f(x)$의 한 부정적분 $F(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $2F(x)=xf(x)-2x^3+6x$를 만족시키고 $f(1)=10$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

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양변을 미분: $2f(x)=f(x)+xf'(x)-6x^2+6$

$f(x)-xf'(x)=-6x^2+6$ → $f(x)$는 이차식

$f(x)=ax^2+bx+c$를 대입하면 $-ax^2+c$: $a=6$, $c=6$

$f(1)=12+b=10$에서 $b=-2$

$\therefore$ $f(2)=24-4+6=$ $26$

사고 흐름

① 양변을 미분해 $f$와 $f'$의 관계식을 만든다

② 차수를 비교해 $f(x)$의 꼴을 정한다

③ 계수를 비교하고 남은 계수는 조건으로 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 2 부정적분과 함수의 연속

문제 · 기본

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x)=\begin{cases}2x+1 & (x<1)\\ 3 & (x>1)\end{cases}$이고 $f(0)=2$일 때, $f(3)$의 값을 구하시오.

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$x<1$: $f(x)=x^2+x+C_1$, $f(0)=2$에서 $C_1=2$

$x>1$: $f(x)=3x+C_2$

$x=1$에서 연속: $1+1+2=3+C_2$, $C_2=1$

$\therefore$ $f(3)=9+1=$ $10$

사고 흐름

① 구간마다 따로 적분하고 적분상수를 다르게 쓴다

② 주어진 함숫값으로 한쪽 상수를 구한다

③ 경계에서 두 식의 값이 같다는 조건으로 이어 붙인다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x)=2x+|x-2|$이고 $f(0)=1$일 때, $f(1)+f(3)$의 값을 구하시오.

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$x=2$를 경계로 절댓값을 푼다

$x<2$: $f'(x)=x+2$, $f(x)=\frac{1}{2}x^2+2x+1$, $f(1)=\frac{7}{2}$, $f(2)=7$

$x>2$: $f'(x)=3x-2$, $f(x)=\frac{3}{2}x^2-2x+C$

$f(2)=2+C=7$에서 $C=5$, $f(3)=\frac{25}{2}$

$\therefore$ $f(1)+f(3)=$ $16$

사고 흐름

① 절댓값 안이 $0$이 되는 $x$로 구간을 나눈다

② 구간마다 적분한다

③ 경계 $x=2$에서 연속이 되도록 상수를 맞춘다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 3 부정적분과 미분계수를 이용한 극한값

문제 · 기본

함수 $f(x)=\int(3x^2-4x+2)\,dx$에 대하여 $\lim_{h\to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2-h)}{h}$의 값을 구하시오.

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$f'(x)=3x^2-4x+2$ (적분상수와 관계없음)

$\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}+\dfrac{f(2-h)-f(2)}{-h}$로 나눔

극한값 $=f'(2)+f'(2)=2f'(2)$

$\therefore$ $2\times(12-8+2)=$ $12$

사고 흐름

① $f(x)$를 직접 구하지 않아도 $f'(x)$는 피적분함수다

② $f(2)$를 빼고 더해 미분계수 꼴 두 개로 나눈다

③ 계수 $2$를 빠뜨리지 않는다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{h}=6x^2-4x+2$를 만족시키고 $f(1)=3$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

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좌변은 $2f'(x)$이므로 $f'(x)=3x^2-2x+1$

$f(x)=x^3-x^2+x+C$

$f(1)=1+C=3$에서 $C=2$

$\therefore$ $f(2)=8-4+2+2=$ $8$

사고 흐름

① 극한식을 미분계수 꼴로 바꿔 $f'(x)$를 구한다

② $f'(x)$를 적분한다

③ 주어진 함숫값으로 $C$를 정한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 4 부정적분과 극대·극소

문제 · 기본

함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x)=3x^2-6x$이고 $f(x)$의 극솟값이 $-1$일 때, $f(x)$의 극댓값을 구하시오.

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$f(x)=x^3-3x^2+C$, $f'(x)=3x(x-2)$

$x=0$에서 극대, $x=2$에서 극소

$f(2)=8-12+C=-1$에서 $C=3$

$\therefore$ 극댓값 $f(0)=$ $3$

사고 흐름

① $f'(x)$를 적분해 $C$를 포함한 $f(x)$를 쓴다

② $f'(x)$의 부호 변화로 극대·극소 위치를 정한다

③ 극솟값으로 $C$를 구해 극댓값을 계산한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

삼차함수 $f(x)$의 도함수 $y=f'(x)$의 그래프가 그림과 같다. $f(x)$의 극솟값이 $0$일 때, $f(x)$의 극댓값을 구하시오.

$x$

$y$

$O$

$y=f'(x)$

$-1$

$2$

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$f'(x)=k(x+1)(x-2)$, $f'(0)=-2k=2$에서 $k=-1$

$x=-1$에서 극소, $x=2$에서 극대

$f(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+2x+C$, $f(-1)=-\frac{7}{6}+C=0$

$\therefore$ 극댓값 $f(2)=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=$ $\frac{9}{2}$

사고 흐름

① $f'$ 그래프의 $x$절편·$y$절편으로 $f'(x)$의 식을 세운다

② $f'$의 부호가 $-$에서 $+$면 극소, $+$에서 $-$면 극대

③ 극솟값으로 $C$를 구한다

DOYEONMATH · 김도연T

유형 5 도함수의 정의를 이용하여 함수 구하기

문제 · 기본

미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$를 만족시키고 $f'(0)=3$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

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$x=y=0$ 대입: $f(0)=2f(0)$, $f(0)=0$

$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)+2xh}{h}$

$=f'(0)+2x=2x+3$

$f(x)=x^2+3x$ ($f(0)=0$) $\therefore$ $f(2)=$ $10$

사고 흐름

① $x=y=0$을 대입해 $f(0)$을 구한다

② 도함수의 정의에 $f(x+h)$를 바꿔 넣는다

③ $f'(x)$를 적분하고 $f(0)$으로 $C$를 정한다

DOYEONMATH · 김도연T

문제 · 심화

미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 $f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y)-1$을 만족시키고 $f'(0)=2$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

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$x=y=0$ 대입: $f(0)=2f(0)-1$, $f(0)=1$

$f(x+h)-f(x)=f(h)-1+3xh(x+h)$

$\frac{f(h)-1}{h}=\frac{f(h)-f(0)}{h}\to f'(0)$이므로 $f'(x)=3x^2+2$

$f(x)=x^3+2x+1$ $\therefore$ $f(2)=$ $13$

사고 흐름

① $x=y=0$을 대입해 $f(0)$을 먼저 구한다

② $f(h)-1$을 $f(h)-f(0)$으로 보고 $f'(0)$을 만든다

③ 적분한 뒤 $f(0)=1$로 $C$를 정한다

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