공통수학2 · 명제
09 코시-슈바르츠 부등식
개념
부등식 $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by)^2$
등호 등호는 $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$일 때 성립
쓰임 제곱의 합이 일정 → 일차식의 최대·최소
반대로 일차식이 일정 → 제곱의 합의 최솟값
자주 나오는 유형
유형 1 코시-슈바르츠 부등식
문제 · 기본
두 실수 $x$, $y$에 대하여 $x^2+y^2=5$일 때, $2x+y$의 최댓값을 구하시오.
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$(2^2+1^2)(x^2+y^2)\ge (2x+y)^2$
$25\ge (2x+y)^2$에서 $-5\le 2x+y\le 5$
등호는 $\frac{x}{2}=\frac{y}{1}$, 즉 $x=2$, $y=1$일 때 성립
$\therefore$ $5$
사고 흐름
① 일차식의 계수로 첫 괄호를 만든다
② 제곱의 합을 대입해 범위를 구한다
③ 등호 조건으로 그때의 값을 확인한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
세 실수 $x$, $y$, $z$에 대하여 $x^2+4y^2+9z^2=3$일 때, $x+2y+3z$의 최솟값을 구하시오.
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$x^2+(2y)^2+(3z)^2$으로 보고 짝을 맞춘다
$(1^2+1^2+1^2)\{x^2+(2y)^2+(3z)^2\}\ge (x+2y+3z)^2$
$9\ge (x+2y+3z)^2$에서 $-3\le x+2y+3z\le 3$
등호는 $x=2y=3z=-1$일 때 $\therefore$ $-3$
사고 흐름
① 계수가 섞이면 $(2y)^2$처럼 묶어 짝을 맞춘다
② 세 쌍 코시-슈바르츠로 범위를 구한다
③ 최솟값은 음수 쪽 끝을 쓴다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 도형에서의 활용
문제 · 기본
대각선의 길이가 $10$인 직사각형의 둘레의 길이의 최댓값을 구하시오.
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가로 $x$, 세로 $y$라 하면 $x^2+y^2=100$
$(1^2+1^2)(x^2+y^2)\ge (x+y)^2$
$(x+y)^2\le 200$, $0<x+y\le 10\sqrt{2}$
둘레 $2(x+y)\le 20\sqrt{2}$, 등호는 $x=y$일 때
$\therefore$ $20\sqrt{2}$
사고 흐름
① 피타고라스 정리로 제곱의 합을 만든다
② 코시-슈바르츠로 $x+y$의 최댓값을 구한다
③ 둘레는 $2(x+y)$임을 잊지 않는다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
$\angle C=90^\circ$, $\overline{BC}=3$, $\overline{CA}=4$인 직각삼각형 $ABC$의 내부의 점 $P$에서 세 변 $BC$, $CA$, $AB$까지의 거리를 각각 $x$, $y$, $z$라 할 때, $x^2+y^2+z^2$의 최솟값을 구하시오.
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$\overline{AB}=5$, 넓이로 $\frac{1}{2}(3x+4y+5z)=6$
$3x+4y+5z=12$
$(3^2+4^2+5^2)(x^2+y^2+z^2)\ge 12^2$
$x^2+y^2+z^2\ge \frac{144}{50}$ $\therefore$ $\frac{72}{25}$
$A$
$B$
$C$
$P$
$x$
$y$
$z$
$3$
$4$
$5$
사고 흐름
① 넓이를 세 삼각형으로 나눠 일차식을 만든다
② 일차식이 일정 → 제곱의 합의 최솟값
③ 등호가 되는 점이 내부에 있는지 확인한다
DOYEONMATH · 김도연T