공통수학2 · 유리함수와 무리함수
01 유리식
개념
유리식 $\dfrac{A}{B}$ ($B$는 $0$이 아닌 다항식) 꼴의 식
계산 인수분해 후 통분·약분, 나눗셈은 역수의 곱
부분분수 $\dfrac{1}{AB}=\dfrac{1}{B-A}\left(\dfrac{1}{A}-\dfrac{1}{B}\right)$
비례식 $x:y=a:b$이면 $x=ak$, $y=bk$ ($k\neq 0$)
자주 나오는 유형
유형 1 유리식의 사칙연산
문제 · 기본
$\dfrac{x^2-4}{x^2+x}\times\dfrac{x+1}{x-2}\div\dfrac{x+2}{x^2}$을 간단히 하시오.
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나눗셈은 역수의 곱: $\div\dfrac{x+2}{x^2}=\times\dfrac{x^2}{x+2}$
$\dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+1)}\times\dfrac{x+1}{x-2}\times\dfrac{x^2}{x+2}$
약분하면 $x$
사고 흐름
① 나눗셈을 역수의 곱셈으로 바꾼다
② 분자·분모를 모두 인수분해한다
③ 같은 인수끼리 약분한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
분모를 $0$으로 만들지 않는 모든 실수 $x$에 대하여 $\dfrac{x^2+3x+1}{x+2}-\dfrac{x^2-x-1}{x-1}=1+\dfrac{a}{(x+2)(x-1)}$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오.
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분자를 분모로 나눠 (다항식) $+$ (분수식)으로
$\dfrac{x^2+3x+1}{x+2}=x+1-\dfrac{1}{x+2}$
$\dfrac{x^2-x-1}{x-1}=x-\dfrac{1}{x-1}$
(좌변) $=1-\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x-1}=1+\dfrac{3}{(x+2)(x-1)}$
$\therefore$ $a=$ $3$
사고 흐름
① 분자의 차수가 분모 이상이면 먼저 나눈다
② 다항식 부분끼리, 분수 부분끼리 계산한다
③ 남은 분수식만 통분한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 2 유리식과 항등식, 부분분수
문제 · 기본
$x\neq 1$, $x\neq -2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x+2}=\dfrac{3x}{(x-1)(x+2)}$가 성립할 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오.
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좌변을 통분하면 분자는 $a(x+2)+b(x-1)$
$(a+b)x+2a-b=3x$가 $x$에 대한 항등식
계수 비교: $a+b=3$, $2a-b=0$
$a=1$, $b=2$ $\therefore$ $ab=$ $2$
사고 흐름
① 좌변을 통분해 분모를 우변과 같게 한다
② 분자끼리 같다는 항등식을 세운다
③ 동류항의 계수를 비교한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
자연수 $n$에 대하여 $\dfrac{1}{1\times 3}+\dfrac{1}{3\times 5}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{10}{21}$일 때, $n$의 값을 구하시오.
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$\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right)$
이웃한 항이 지워져 (좌변) $=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2n+1}\right)=\dfrac{n}{2n+1}$
$\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac{10}{21}$에서 $21n=20n+10$
$\therefore$ $n=$ $10$
사고 흐름
① 분모가 두 인수의 곱이면 부분분수로 쪼갠다
② 앞의 계수 $\dfrac{1}{B-A}$를 빠뜨리지 않는다
③ 지워지고 남는 첫 항과 끝 항만 계산한다
DOYEONMATH · 김도연T
유형 3 유리식의 값 — 조건식의 변형
문제 · 기본
$x^2-4x+1=0$일 때, $x^3+\dfrac{1}{x^3}$의 값을 구하시오.
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$x=0$은 근이 아니므로 양변을 $x$로 나누면
$x+\dfrac{1}{x}=4$
$x^3+\dfrac{1}{x^3}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$
$=64-12=$ $52$
사고 흐름
① $x^2+ax+1=0$은 $x$로 나눈다
② $x+\dfrac{1}{x}$의 값을 얻는다
③ 곱셈 공식의 변형으로 차수를 올린다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
$0$이 아닌 세 실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c=0$일 때, $\dfrac{a+b}{c}\times\dfrac{b+c}{a}\times\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}$의 값을 구하시오.
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$a+b=-c$, $b+c=-a$, $c+a=-b$
앞의 곱 $=\dfrac{-c}{c}\times\dfrac{-a}{a}\times\dfrac{-b}{b}=-1$
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(\cdots)=0$
뒤의 합 $=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\dfrac{3abc}{abc}=3$
$\therefore$ $-1+3=$ $2$
사고 흐름
① 두 문자의 합을 나머지 한 문자로 바꾼다
② 분모를 통분해 $a^3+b^3+c^3$을 만든다
③ $a+b+c=0$이면 $a^3+b^3+c^3=3abc$
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유형 4 유리식의 값 — 비례식·방정식
문제 · 기본
$3x=2y=6z$일 때, $\dfrac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$의 값을 구하시오. (단, $xyz\neq 0$)
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$3x=2y=6z=6k$로 놓으면 $x=2k$, $y=3k$, $z=k$
(분자) $=6k^2+3k^2+2k^2=11k^2$
(분모) $=4k^2+9k^2+k^2=14k^2$
$\therefore$ $\dfrac{11}{14}$
사고 흐름
① 연비 $=k$로 놓고 각 문자를 $k$로 나타낸다
② $3x=2y=6z$를 $x:y:z=3:2:6$으로 착각하지 않는다
③ 분자·분모의 $k^2$을 약분한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
$0$이 아닌 세 실수 $x$, $y$, $z$에 대하여 $x+2y-z=0$, $2x-y+3z=0$일 때, $\dfrac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$의 값을 구하시오.
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첫째 식에서 $z=x+2y$
둘째 식에 대입: $5x+5y=0$, $y=-x$, $z=-x$
(분자) $=-x^2+x^2-x^2=-x^2$, (분모) $=3x^2$
$\therefore$ $-\dfrac{1}{3}$
사고 흐름
① 식이 두 개, 문자가 세 개면 한 문자로 나타낸다
② 한 문자를 소거해 나머지 관계를 구한다
③ 대입한 뒤 같은 문자를 약분한다
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유형 5 유리식의 활용
문제 · 기본
두 지점 A, B 사이를 갈 때는 시속 $60$ km, 올 때는 시속 $40$ km로 왕복하였다. 왕복하는 동안의 평균 속력을 구하시오.
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거리를 $d$ km라 하면 걸린 시간 $\dfrac{d}{60}+\dfrac{d}{40}=\dfrac{d}{24}$
평균 속력 $=$ (전체 거리) $\div$ (전체 시간)
$2d\div\dfrac{d}{24}=48$
$\therefore$ 시속 $48$ km
사고 흐름
① 모르는 거리를 문자로 놓는다
② (시간) $=$ (거리) $\div$ (속력)으로 유리식을 세운다
③ 두 속력의 평균 $50$이 답이 아님에 주의한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
농도가 $a\%$인 소금물 $200$ g과 $b\%$인 소금물 $300$ g을 섞으면 $p\%$, $a\%$인 소금물 $300$ g과 $b\%$인 소금물 $200$ g을 섞으면 $q\%$가 된다. $p:q=4:5$일 때, $\dfrac{a^2+b^2}{ab}$의 값을 구하시오.
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소금의 양: $2a+3b$ (g), $3a+2b$ (g)
$p=\dfrac{2a+3b}{5}$, $q=\dfrac{3a+2b}{5}$
$5(2a+3b)=4(3a+2b)$ → $2a=7b$
$a=7k$, $b=2k$: $\dfrac{49k^2+4k^2}{14k^2}=$ $\dfrac{53}{14}$
사고 흐름
① (소금의 양) $=\dfrac{\text{농도}}{100}\times$(소금물의 양)
② 비례식을 곱셈식으로 바꿔 $a$, $b$의 관계를 구한다
③ 한 문자로 나타내 대입한다
DOYEONMATH · 김도연T