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미적분1 · 미분

06 함수의 극대와 극소

개념
극대·극소 $f'(a)=0$이고 $f'$의 부호가 $+\to-$이면 극대, $-\to+$이면 극소
주의 $f'(a)=0$이어도 부호가 안 바뀌면 극값이 아니다 ($x^3$)
미정계수 $x=a$에서 극값 $k$ ⇔ $f'(a)=0$, $f(a)=k$
도함수 그래프 $f'$이 $x$축을 뚫고 지나는 점에서 극값
자주 나오는 유형

유형 1 함수의 극대와 극소빈출

문제 · 기본
함수 $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$의 극댓값과 극솟값의 차를 구하시오.
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$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$
$x=-1$에서 극대, $x=3$에서 극소
극댓값 $f(-1)=7$, 극솟값 $f(3)=-25$
$\therefore$ $7-(-25)=$ $32$
사고 흐름
① $f'(x)=0$인 $x$를 구한다
② 부호 변화로 극대·극소를 정한다
③ 극값을 계산한다
DOYEONMATH · 김도연T
문제 · 심화
함수 $f(x)=x^4-8x^2+3$의 모든 극값의 합을 구하시오.
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$f'(x)=4x^3-16x=4x(x+2)(x-2)$
$x=\pm2$에서 극소, $x=0$에서 극대
$f(\pm2)=-13$, $f(0)=3$
$\therefore$ $-13-13+3=$ $-23$
사고 흐름
① 사차함수는 $f'(x)=0$의 근이 최대 세 개
② 부호 변화를 표로 정리한다
③ 극솟값이 두 번 나오면 두 번 더한다
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유형 2 극값을 이용한 미정계수의 결정빈출

문제 · 기본
함수 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$가 $x=1$에서 극댓값 $5$를 갖고 $x=3$에서 극소일 때, $f(x)$의 극솟값을 구하시오. (단, $a$, $b$, $c$는 상수)
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$f'(x)=3(x-1)(x-3)=3x^2-12x+9$ → $a=-6$, $b=9$
$f(1)=1-6+9+c=5$에서 $c=1$
$\therefore$ 극솟값 $f(3)=27-54+27+1=$ $1$
사고 흐름
① 극값을 갖는 $x$는 $f'(x)=0$의 근
② 근으로 $f'(x)$를 써서 계수를 비교한다
③ 극댓값 조건으로 상수항을 정한다
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문제 · 심화
함수 $f(x)=x^3-3ax+b$의 극댓값이 $6$, 극솟값이 $2$일 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a>0$)
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$f'(x)=3x^2-3a=0$에서 $x=\pm\sqrt a$
극댓값 $f(-\sqrt a)=2a\sqrt a+b=6$, 극솟값 $f(\sqrt a)=-2a\sqrt a+b=2$
더하면 $b=4$, 빼면 $a\sqrt a=1$
$a=1$ $\therefore$ $a+b=$ $5$
사고 흐름
① 극값을 갖는 $x$를 $a$로 나타낸다
② 극댓값·극솟값을 각각 식으로 쓴다
③ 두 식을 더하고 빼서 푼다
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유형 3 도함수의 그래프와 극대·극소빈출

문제 · 기본
함수 $f(x)$의 도함수 $y=f'(x)$의 그래프가 그림과 같다. $f(x)$가 극대가 되는 $x$의 값을 $a$, 극소가 되는 모든 $x$의 값의 합을 $b$라 할 때, $a+b$의 값을 구하시오.
$x$
$y$
$O$
$y=f'(x)$
$-2$
$1$
$3$
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$f'$의 부호: $x=-2$에서 $-\to+$, $x=1$에서 $+\to-$, $x=3$에서 $-\to+$
극대 $x=1$, 극소 $x=-2$, $3$
$a=1$, $b=-2+3=1$
$\therefore$ $a+b=$ $2$
사고 흐름
① $f'$ 그래프가 $x$축과 만나는 점을 찾는다
② 그 점에서 $f'$의 부호가 어떻게 바뀌는지 본다
③ $+\to-$는 극대, $-\to+$는 극소
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문제 · 심화
삼차함수 $f(x)$의 도함수 $y=f'(x)$의 그래프가 그림과 같다. $f(0)=3$이고 $f(x)$의 극솟값이 $-1$일 때, $f(x)$의 극댓값을 구하시오.
$x$
$y$
$O$
$y=f'(x)$
$1$
$3$
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$f'(x)=k(x-1)(x-3)$ ($k<0$): $x=1$에서 극소, $x=3$에서 극대
$f(x)=k\left(\dfrac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)+3$
$f(1)=\dfrac{4}{3}k+3=-1$에서 $k=-3$
$\therefore$ 극댓값 $f(3)=-3\times0+3=$ $3$
사고 흐름
① 그래프의 근으로 $f'(x)=k(x-1)(x-3)$을 쓴다
② 그래프 모양으로 극대·극소 위치와 $k$의 부호를 정한다
③ 극솟값 조건으로 $k$를 구한다
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유형 4 여러 가지 함수의 극값

문제 · 기본
함수 $f(x)=|x^2-2x-3|$이 극값을 갖는 $x$의 개수를 구하시오.
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$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$, $x$축 아래 부분을 위로 접는다
$x=-1$, $3$에서 극소 (꺾인 점), $x=1$에서 극대
미분가능하지 않은 점에서도 극값을 가질 수 있다
$\therefore$ $3$개
사고 흐름
① $|f(x)|$는 $x$축 아래를 접은 그래프다
② 접힌 꼭짓점은 극대, 꺾인 점은 극소가 된다
③ 그래프를 그려 극값을 센다
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문제 · 심화
두 함수 $f(x)=x^3+2x^2$, $g(x)=x^2+x+1$에 대하여 $h(x)=f(x)-g(x)$의 극솟값을 구하시오.
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$h(x)=x^3+x^2-x-1$
$h'(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1)$
$x=\frac13$에서 극소
$h\left(\frac13\right)=\dfrac{1+3-9-27}{27}=$ $-\dfrac{32}{27}$
사고 흐름
① 차 $h=f-g$를 먼저 정리한다
② $h'(x)=0$에서 극소인 $x$를 찾는다
③ 분수 계산은 통분해 한 번에 한다
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유형 5 대칭성을 가지는 함수의 극값

문제 · 기본
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x)=-f(x)$를 만족시키고 극댓값이 $16$일 때, $f(3)$의 값을 구하시오.
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원점 대칭이므로 $f(x)=x^3+ax$
$f'(x)=3x^2+a=0$, $a=-3k^2$ ($k>0$)이면 극댓값 $f(-k)=2k^3=16$
$k=2$, $a=-12$
$\therefore$ $f(3)=27-36=$ $-9$
사고 흐름
① $f(-x)=-f(x)$이면 홀수 차수 항만 남는다
② 극값을 갖는 점을 문자로 놓는다
③ 극댓값 조건으로 계수를 구한다
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문제 · 심화
최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(-x)=f(x)$를 만족시키고 $x=1$에서 극솟값 $-4$를 가질 때, $f(2)$의 값을 구하시오.
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$y$축 대칭이므로 $f(x)=x^4+ax^2+b$
$f'(1)=4+2a=0$에서 $a=-2$
$f(1)=1-2+b=-4$에서 $b=-3$
$\therefore$ $f(2)=16-8-3=$ $5$
사고 흐름
① $f(-x)=f(x)$이면 짝수 차수 항만 남는다
② 극값 조건 $f'(1)=0$, $f(1)=-4$를 쓴다
③ 대칭이라 $x=-1$에서도 같은 극솟값을 가진다
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유형 6 극대·극소의 활용

문제 · 기본
함수 $f(x)=x^3-3x$의 그래프에서 극대인 점 A와 극소인 점 B 사이의 거리를 구하시오.
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$f'(x)=3(x+1)(x-1)$
A$(-1, 2)$, B$(1, -2)$
$\overline{\rm AB}=\sqrt{2^2+4^2}$
$=$ $2\sqrt5$
사고 흐름
① 극대·극소인 점의 좌표를 구한다
② 두 점 사이의 거리 공식을 쓴다
③ 근호를 간단히 한다
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문제 · 심화
함수 $f(x)=x^3-3ax$의 그래프에서 극대인 점과 극소인 점을 지나는 직선의 기울기가 $-8$일 때, 양수 $a$의 값을 구하시오.
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$f'(x)=3x^2-3a=0$에서 $x=\pm\sqrt a$
극대 $(-\sqrt a, 2a\sqrt a)$, 극소 $(\sqrt a, -2a\sqrt a)$
기울기 $\dfrac{-4a\sqrt a}{2\sqrt a}=-2a=-8$
$\therefore$ $a=$ $4$
사고 흐름
① 극점의 좌표를 $a$로 나타낸다
② 두 점을 지나는 직선의 기울기를 계산한다
③ 주어진 기울기와 같게 놓는다
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